Kapitola 7 z 17

Od stromu k Brownovmu pohybu

Čo sa stane so stromom, keď krokov pribúda a každý sa zmenšuje: náhodná prechádzka, škálovanie odmocninou času a Wienerov proces.

17 minút

Problém

Piata kapitola skončila tabuľkou, ktorá sa odmietla ďalej hýbať. Tá istá opcia ocenená na strome s jedným, dvoma, piatimi, dvadsiatimi piatimi a stovkou krokov dávala ceny, ktoré sa najprv divoko preháňali a potom sa usadili okolo 14,23 €.

Nechali sme vtedy otvorenú otázku: k čomu sa to vlastne blížilo?

Strom je hrubý nástroj. Delí rok na kroky a v každom kroku pripúšťa dva konce sveta. Skutočná akcia sa hýbe každý deň, každú hodinu, pri každom obchode. Ak chceme model, ktorý sa tomu podobá, musíme robiť presne to, čo tabuľka naznačila:

1\ \text{krok} \;\to\; 10 \;\to\; 100 \;\to\; 1000\ \text{malých krokov} \;\to\; ?

Táto kapitola pomenuje to, čo na konci šípky stojí. Nie je to nový vynález, ktorý by sme si museli odniekiaľ požičať. Je to ten istý strom, len pozretý z dostatočnej diaľky.

Náhodná prechádzka

Začnime tým najjednoduchším náhodným procesom, aký sa dá zapísať.

Symetrická náhodná prechádzka

Začíname v nule, $X_0 = 0$ , a v každom kroku hodíme mincou:

X_{n} = X_{n-1} + \varepsilon_n, \qquad \varepsilon_n = \begin{cases} +1 & \text{s pravdepodobnosťou } \tfrac{1}{2} \\[2pt] -1 & \text{s pravdepodobnosťou } \tfrac{1}{2} \end{cases}

Jednotlivé hody sú navzájom nezávislé: minca si nepamätá, ako padla naposledy.

Je to ten istý objekt ako binomický strom z druhej časti, len bez cien. Namiesto násobenia faktorom $u$ alebo $d$ pripočítavame $+1$ alebo $-1$ .

Tri veci, ktoré sa o ňom dajú povedať hneď:

Stredná hodnota je nula. Každý krok má strednú hodnotu $\tfrac12 \cdot 1 + \tfrac12 \cdot (-1) = 0$ , a stredné hodnoty sa sčítavajú, takže $\mathbb{E}[X_n] = 0$ pre každé $n$ .

Rozptyl rastie lineárne. Každý krok má rozptyl $\mathbb{E}[\varepsilon^2] = 1$ . Keďže sú kroky nezávislé, sčítavajú sa rozptyly, nie odchýlky:

\operatorname{Var}(X_n) = n, \qquad \text{a teda} \qquad \text{sd}(X_n) = \sqrt{n}

Trajektórie vyzerajú úplne odlišne. Dve prechádzky s tými istými pravidlami nemajú spoločné nič okrem toho, odkiaľ vyšli.

Tá tretia vlastnosť je najdôležitejšia a najhoršie sa opisuje slovami. Pozrite sa na ňu.

Fáza

1. Náhodná prechádzka

2. Preškálovaná

3. Brownov pohyb

Počet krokov n

440800

Horizont T

0.251 rokov4

Vybrané body zobrazenej dráhy
Čas	Hodnota
0	0
8	2
16	4
24	10
32	16
40	18

Kroky ±1, čas sa počíta v krokoch. Zatiaľ žiadny spojitý objekt: len postupnosť hodov mincou, ktoré sa sčítavajú.

Prečo práve odmocnina

Kroky sú nezávislé, takže sa sčítavajú ich rozptyly, nie ich veľkosti. Ak má krok veľkosť √Δt, jeho rozptyl je Δt, a n takých krokov dá rozptyl n·Δt = T bez ohľadu na to, ako jemne sme čas nakrájali. Keby bol krok veľký Δt, dráha by sa pri jemnení zbalila do priamky; keby bol veľký ⁴√Δt, rozletela by sa do nekonečna. Odmocnina je jediná mocnina, pri ktorej limit existuje a nie je triviálny.

Prepnite na druhú fázu, keď budete mať prečítanú nasledujúcu sekciu.

Od prechádzky k spojitému času

Chceme, aby prechádzka žila na hodinách, nie v poradových číslach krokov. Rozdeľme teda obdobie dĺžky $T$ na $n$ rovnakých kúskov:

\Delta t = \frac{T}{n}

Tu vzniká otázka, na ktorej všetko stojí: ako veľký má byť jeden krok?

Ak necháme kroky veľké $\pm 1$ a len ich natlačíme bližšie k sebe, prechádzka sa pri jemnení rozletí do nekonečna: za $T$ rokov ich urobí $n$ a jej odchýlka bude $\sqrt{n}$ , čo s rastúcim $n$ rastie bez hranice.

Ak naopak zmenšíme krok na $\Delta t$ , prechádzka sa zbalí do priamky: odchýlka bude $\sqrt{n} \cdot \Delta t = \sqrt{n} \cdot \tfrac{T}{n} = \tfrac{T}{\sqrt{n}} \to 0$ .

Ani jedno nie je model. Prvý nemá limit, druhý má limit nulový.

Odmocnina času

Skúsme krok veľkosti $\sqrt{\Delta t}$ :

\operatorname{Var}(X_T) = n \cdot \left(\sqrt{\Delta t}\right)^2 = n \cdot \Delta t = n \cdot \frac{T}{n} = T

Rozptyl na konci je $T$ bez ohľadu na to, koľko krokov sme použili. Sto krokov, milión krokov, ten istý výsledok. Máme netriviálny limit.

Toto je zároveň dôvod, prečo binomický strom v piatej kapitole používal $u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}$ a nie $e^{\sigma\Delta t}$ . Vtedy sme to prijali ako štandardnú kalibráciu. Teraz je vidieť, že je to jediná možná.

Fáza

1. Náhodná prechádzka

2. Preškálovaná

3. Brownov pohyb

Počet krokov n

440800

Horizont T

0.251 rokov4

Vybrané body zobrazenej dráhy
Čas	Hodnota
0	0
0,2	0,316
0,4	0,632
0,6	1,581
0,8	2,53
1	2,846

Tie isté hody mincou, len na hodinách. Do horizontu sa zmestí n krokov, každý veľký ±√Δt. Prerušovaná čiara je skutočný Brownov pohyb. Zvyšujte n a sledujte, ako sa prestávajú dať rozoznať.

Dĺžka kroku Δt: 0,025
Veľkosť kroku √Δt: 0,1581
Možných koncov: 41
Rozptyl na konci: 1(nemení sa s n)

Prečo práve odmocnina

Zvyšujte $n$ a sledujte dve veci naraz. Preškálovaná prechádzka sa čoraz menej dá odlíšiť od prerušovanej čiary za ňou, a údaj o rozptyle na konci sa nehýbe. To prvé je konvergencia, to druhé je jej dôvod.

Wienerov proces

Limitným objektom je Wienerov proces, tiež nazývaný Brownov pohyb. Označuje sa $W_t$ a je definovaný štyrmi vlastnosťami.

Brownov pohyb (Wienerov proces)

Proces $\{W_t\}_{t \ge 0}$ je Brownov pohyb, ak:

$W_0 = 0$
prírastky na neprekrývajúcich sa intervaloch sú nezávislé
$W_t - W_s \sim \mathcal{N}(0,\, t-s)$ pre $0 \le s < t$
trajektórie sú spojité

Prejdime ich po jednej.

$W_0 = 0$

Proces začína v nule. Je to len voľba počiatku, nie obsahové tvrdenie: keď modelujeme cenu akcie, $W_t$ nebude cena, ale náhodný posun oproti tomu, kde by cena bola bez neistoty. Ten posun je dnes prirodzene nulový, lebo dnešnú cenu poznáme.

Nezávislé prírastky

Ako sa proces pohne od dneška do zajtra, nezávisí od toho, ako sa pohol od včera do dneška.

Formálne: pre $s_1 < t_1 \le s_2 < t_2$ sú $W_{t_1} - W_{s_1}$ a $W_{t_2} - W_{s_2}$ nezávislé náhodné veličiny.

Intuitívne: proces si pamätá, kde je, ale nie ako sa tam dostal. To je presne tá istá vlastnosť, ktorú mal binomický strom, keď sa spájal: uzol po dvoch krokoch nezáleží na poradí pohybov.

Praktický dôsledok, ktorý sa v ďalších kapitolách používa neustále:

\operatorname{Var}(W_t - W_s) = t - s

Rozptyl závisí len od dĺžky intervalu, nie od toho, kde na časovej osi leží.

Normálne rozdelené prírastky

Prírastok za čas $\tau$ má rozdelenie $\mathcal{N}(0, \tau)$ : stredná hodnota nula, rozptyl $\tau$ , smerodajná odchýlka $\sqrt{\tau}$ .

Odkiaľ sa vzalo normálne rozdelenie? Nevybrali sme si ho. Prírastok za čas $\tau$ je v preškálovanej prechádzke súčtom veľkého počtu nezávislých rovnako rozdelených krokov, a o takých súčtoch hovorí centrálna limitná veta: blížia sa k normálnemu rozdeleniu bez ohľadu na to, aké boli jednotlivé kroky.

Prechádzka teda nebola zvláštny prípad. Aj keby minca bola nespravodlivá alebo kroky nerovnako veľké, limit by bol ten istý.

Spojité trajektórie

Proces neskáče. Medzi dvoma blízkymi časmi je aj rozdiel hodnôt malý.

Toto je práve tá vlastnosť, ktorú diskrétny strom nemal: strom skáče z uzla do uzla a medzi nimi neexistuje. V limite skoky miznú, lebo veľkosť kroku $\sqrt{\Delta t}$ ide k nule.

Simulátor

Teraz sa na proces pozrite. Nasledujúci nástroj kreslí niekoľko nezávislých trajektórií naraz, s pásom $\pm\sigma\sqrt{t}$ za nimi.

Počet dráh

1830

Zvýraznenie

Všetky rovnako

Jedna dráha

Počet krokov

102501000

Časový horizont

0.251 rokov5

Volatilita σ

0.0520 %0.8

Vybrané body prvej simulovanej dráhy
Čas	Hodnota
0	0
0,2	0,081
0,4	0,004
0,6	-0,007
0,8	-0,102
1	-0,201

Teoretická odchýlka σ√T: 0,2
Výberová odchýlka: 0,19
Koncov v páse ±σ√T: 71 %(očakávaných 68 %)

Obe čísla sa merajú na 500 nezávislých koncoch, nie na nakreslených dráhach. Z desiatich dráh by podiel skákal medzi 30 % a 90 % podľa toho, čo náhoda práve spravila, a vyzeralo by to, že model neplatí.

Čo si všimnúť

Stlačte tlačidlo niekoľkokrát. Dráhy sa zakaždým úplne zmenia, ale pás okolo nich nie: jeho šírka závisí len od σ a od času, nie od toho, čo náhoda práve spravila. Model nehovorí, kam cena pôjde. Hovorí, aká široká je množina miest, kam môže dôjsť.

Tri veci, ktoré stojí za to vyskúšať:

Stlačte „Generovať novú simuláciu" niekoľkokrát. Dráhy sa zakaždým úplne zmenia. Pás nie. To je celý obsah modelu: nehovorí, kam cena pôjde, hovorí, aká široká je množina miest, kam môže dôjsť.
Predĺžte horizont zo štvrť roka na štyri roky. Šestnásťnásobne dlhší čas rozšíri pás len štvornásobne. Odmocnina času, videná priamo.
Prepnite na jednu zvýraznenú dráhu a zvyšujte počet krokov. Dráha sa nevyhladzuje. S každým ďalším krokom pribúdajú menšie zuby, nie hladšia čiara.

Tá tretia vec je téma nasledujúcej sekcie.

Spojitý, ale nikde hladký

Brownov pohyb má spojité trajektórie. A napriek tomu nemá v žiadnom bode deriváciu.

Na prvé počutie to znie ako protirečenie. Nie je. Spojitosť hovorí, že sa proces nikam neteleportuje. Diferencovateľnosť by hovorila niečo oveľa silnejšie: že sa dá v každom bode nahradiť dotyčnicou, teda že má lokálne jasný smer.

Brownov pohyb ten smer nemá. Pozrite sa, čo sa stane pri približovaní.

Šírka okna

0.01100 %1

Časový horizont

0.251 rokov5

Volatilita σ

0.0520 %0.8

Vybrané body prvej simulovanej dráhy
Čas	Hodnota
0	0
0,2	-0,087
0,4	0,031
0,6	-0,09
0,8	0,038
1	0,205

Priblíženie

Toto je stále tá istá dráha, len sa na ňu pozeráme cez čoraz užšie okno. Zúžte ho a sledujte, či sa niekde vyhladí. Nevyhladí. Pri každom priblížení vyzerá rovnako zubato ako predtým, lebo v každom okamihu je zložená z ďalších menších náhodných pohybov. Práve preto nemá deriváciu a práve preto v ôsmej kapitole nebude stačiť bežný kalkulus.

Zúžte okno na jedno percento pôvodného horizontu. Očakávali by ste, že sa krivka na tak malom úseku vyhladí do priamky, tak ako sa vyhladí každá bežná funkcia. Nevyhladí sa. Vyzerá presne tak zubato ako predtým.

Dôvod je v škálovaní. Za čas $\Delta t$ sa proces pohne rádovo o $\sqrt{\Delta t}$ , takže priemerný sklon je

\frac{\Delta W}{\Delta t} \sim \frac{\sqrt{\Delta t}}{\Delta t} = \frac{1}{\sqrt{\Delta t}}

a to pri $\Delta t \to 0$ rastie nad všetky medze. Sklon neexistuje, lebo diverguje.

Prečo Brownov pohyb nie je cena akcie

Máme spojitý náhodný proces. Prečo teda nenapíšeme rovno $S_t = S_0 + \sigma W_t$ a nekončíme?

Dva dôvody, oba fatálne.

Cena by mohla klesnúť pod nulu. $W_t$ je normálne rozdelený, takže nadobúda ľubovoľne záporné hodnoty. Akcia sa na nulu dostať môže, ale pod nulu nie: akcionár nemôže dlhovať viac, než vložil.

Pohyb by nezávisel od úrovne ceny. Model by tvrdil, že akcia za 5 € a akcia za 500 € kolíšu v eurách rovnako. Trh sa tak nespráva. Akcia za 500 € sa bežne pohne o 10 €, akcia za 5 € nikdy.

Obe námietky majú spoločné riešenie: náhodnosť nemá pôsobiť na cenu, ale na percentuálnu zmenu ceny.

\frac{dS}{S} = \mu\,dt + \sigma\,dW

Čítané po členoch: relatívna zmena ceny za nekonečne krátky čas sa skladá z predvídateľnej časti $\mu\,dt$ a náhodnej časti $\sigma\,dW$ . Roznásobením:

dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dW

Tomuto procesu sa hovorí geometrický Brownov pohyb a je to model, na ktorom stojí zvyšok kurzu.

Geometrický Brownov pohyb: $dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t$
$\mu$ je očakávaný výnos za rok, $\sigma$ volatilita za rok, $dW_t$ náhodný šok. Oba členy sú úmerné $S_t$ , čo je vecne správne: akcia sa hýbe v eurách tým viac, čím je drahšia, ale percentuálne rovnako.

Počet dráh

1830

Zvýraznenie

Všetky rovnako

Jedna dráha

Počet krokov

102501000

Časový horizont

0.253 rokov5

Volatilita σ

0.0525 %0.8

Drift μ

-0.28 %0.3

Vybrané body prvej simulovanej dráhy
Čas	Hodnota
0	100
0,6	122,633
1,2	107,017
1,8	107,489
2,4	90,116
3	74,939

Teoretická odchýlka σ√T: 0,433
Výberová odchýlka: 0,41
Koncov v páse ±σ√T: 71 %(očakávaných 68 %)

Čo si všimnúť

Všimnite si dve zmeny oproti predchádzajúcemu obrázku. Dráhy neklesajú pod nulu, a pás okolo nich už nie je symetrický: nahor je širší než nadol. To je podpis lognormálneho rozdelenia a v ôsmej kapitole uvidíte, odkiaľ presne pochádza.

Cvičenia

Cvičenie

Quick check: rozptyl a odchýlka

Nech $W_t$ je Brownov pohyb.

Aký je rozptyl $W_4$ a aká je jeho smerodajná odchýlka?

Rozptyl W₄

Smerodajná odchýlka W₄

Cvičenie

Quick check: nezávislé prírastky

Ten istý proces. Aký je rozptyl prírastku $W_9 - W_4$ a aká je jeho odchýlka?

Rozptyl prírastku

Odchýlka prírastku

Cvičenie

Quick check: veľkosť kroku pri škálovaní

Rok delíme na 400 rovnakých krokov a chceme preškálovanú náhodnú prechádzku.

Aká veľká musí byť jedna zmena a aký rozptyl bude mať proces na konci roka?

Veľkosť kroku

Rozptyl na konci

Cvičenie

Veľkosť jedného kroku

Volatilita akcie je 25 % ročne. Strom delí rok na mesiace.

Aká je smerodajná odchýlka logaritmu ceny za jeden krok, teda $\sigma\sqrt{\Delta t}$ ? A aká je za celý rok?

Za jeden mesiac

Za rok

Cvičenie

Prečo odmocnina času

Volatilita je 20 % ročne. O koľko sa zmení smerodajná odchýlka, ak horizont predĺžime zo štyroch rokov na deväť?

Odchýlka za 4 roky

Odchýlka za 9 rokov

Cvičenie

Prepočet volatility na kratšie obdobia

Akcia má volatilitu 30 % ročne. Obchodník potrebuje vedieť, aká je typická zmena za týždeň a aká za jeden obchodný deň.

Rok má 52 týždňov a 252 obchodných dní.

Týždenná volatilita

Denná volatilita

Cvičenie

Kam sa proces zmestí

Logaritmus ceny akcie sa za rok pohne o $\sigma W_1$ , kde $\sigma = 20\ \%$ .

Použite pravidlo, že 95 % hodnôt normálneho rozdelenia leží v páse 1,96 odchýlky. V akom rozpätí skončí logaritmus ceny s pravdepodobnosťou 95 %? A v akom s pravdepodobnosťou 68 %?

Horná hranica 95 % pásu

Horná hranica 68 % pásu

Cvičenie

Challenge: strom a proces dávajú to isté

Akcia má volatilitu 20 % ročne a sledujeme ju jeden rok. Postavíme dva binomické stromy podľa kalibrácie z piatej kapitoly, $u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}$ : jeden so štyrmi krokmi, druhý so sto.

Spočítajte odchýlku logaritmu ceny za jeden krok v oboch stromoch a potom za celý rok. Nakoniec: aká je pravdepodobnosť, že logaritmus ceny skončí aspoň o 0,2 nad svojou strednou hodnotou?

Odchýlka kroku, 4 kroky

Odchýlka kroku, 100 krokov

Odchýlka za rok (oba stromy)

Pravdepodobnosť v %

Čo si zapamätať

Brownov pohyb je limit náhodnej prechádzky, nie samostatný vynález. Vzniká z toho istého stromu, keď krokov pribúda a každý sa zmenšuje.
Krok musí byť veľký $\sqrt{\Delta t}$ . Väčší a proces sa pri jemnení rozletí, menší a zbalí sa do priamky. Je to jediná mocnina, pri ktorej limit existuje.
Sčítavajú sa rozptyly, nie odchýlky. Z toho plynie všetko ostatné, vrátane toho, prečo sa volatilita prepočítava odmocninou času.
$W_t \sim \mathcal{N}(0,t)$ , prírastky sú nezávislé a závisia len od dĺžky intervalu.
Normálne rozdelenie sme si nevybrali. Vyplýva z centrálnej limitnej vety, a preto by limit vyšiel rovnako aj pri inak nastavenej prechádzke.
Trajektórie sú spojité, ale nikde nie sú hladké. Priemerný sklon na intervale $\Delta t$ rastie ako $1/\sqrt{\Delta t}$ , takže derivácia neexistuje. Toto je dôvod, prečo v ôsmej kapitole nebude stačiť bežný kalkulus.
Cenu akcie nemodeluje $W_t$ , ale geometrický Brownov pohyb $dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dW$ . Náhodnosť pôsobí na percentuálnu zmenu, nie na cenu, čím sa ošetrí aj zápornosť aj závislosť od úrovne.
Rovnicu zatiaľ vieme napísať, nie vyriešiť. Na to treba vedieť derivovať funkciu Brownovho pohybu, a to je téma nasledujúcej kapitoly.

Kapitoly

← Prehľad kurzu

Kapitola 7 z 17

Od stromu k Brownovmu pohybu

Čo sa stane so stromom, keď krokov pribúda a každý sa zmenšuje: náhodná prechádzka, škálovanie odmocninou času a Wienerov proces.

17 minút

Problém

Nechali sme vtedy otvorenú otázku: k čomu sa to vlastne blížilo?

1\ \text{krok} \;\to\; 10 \;\to\; 100 \;\to\; 1000\ \text{malých krokov} \;\to\; ?

Táto kapitola pomenuje to, čo na konci šípky stojí. Nie je to nový vynález, ktorý by sme si museli odniekiaľ požičať. Je to ten istý strom, len pozretý z dostatočnej diaľky.

Náhodná prechádzka

Začnime tým najjednoduchším náhodným procesom, aký sa dá zapísať.

Symetrická náhodná prechádzka

Začíname v nule, $X_0 = 0$ , a v každom kroku hodíme mincou:

X_{n} = X_{n-1} + \varepsilon_n, \qquad \varepsilon_n = \begin{cases} +1 & \text{s pravdepodobnosťou } \tfrac{1}{2} \\[2pt] -1 & \text{s pravdepodobnosťou } \tfrac{1}{2} \end{cases}

Jednotlivé hody sú navzájom nezávislé: minca si nepamätá, ako padla naposledy.

Je to ten istý objekt ako binomický strom z druhej časti, len bez cien. Namiesto násobenia faktorom $u$ alebo $d$ pripočítavame $+1$ alebo $-1$ .

Tri veci, ktoré sa o ňom dajú povedať hneď:

Stredná hodnota je nula. Každý krok má strednú hodnotu $\tfrac12 \cdot 1 + \tfrac12 \cdot (-1) = 0$ , a stredné hodnoty sa sčítavajú, takže $\mathbb{E}[X_n] = 0$ pre každé $n$ .

Rozptyl rastie lineárne. Každý krok má rozptyl $\mathbb{E}[\varepsilon^2] = 1$ . Keďže sú kroky nezávislé, sčítavajú sa rozptyly, nie odchýlky:

\operatorname{Var}(X_n) = n, \qquad \text{a teda} \qquad \text{sd}(X_n) = \sqrt{n}

Trajektórie vyzerajú úplne odlišne. Dve prechádzky s tými istými pravidlami nemajú spoločné nič okrem toho, odkiaľ vyšli.

Tá tretia vlastnosť je najdôležitejšia a najhoršie sa opisuje slovami. Pozrite sa na ňu.

Fáza

1. Náhodná prechádzka

2. Preškálovaná

3. Brownov pohyb

Počet krokov n

440800

Horizont T

0.251 rokov4

Vybrané body zobrazenej dráhy
Čas	Hodnota
0	0
8	2
16	4
24	10
32	16
40	18

Kroky ±1, čas sa počíta v krokoch. Zatiaľ žiadny spojitý objekt: len postupnosť hodov mincou, ktoré sa sčítavajú.

Prečo práve odmocnina

Prepnite na druhú fázu, keď budete mať prečítanú nasledujúcu sekciu.

Od prechádzky k spojitému času

Chceme, aby prechádzka žila na hodinách, nie v poradových číslach krokov. Rozdeľme teda obdobie dĺžky $T$ na $n$ rovnakých kúskov:

\Delta t = \frac{T}{n}

Tu vzniká otázka, na ktorej všetko stojí: ako veľký má byť jeden krok?

Ak naopak zmenšíme krok na $\Delta t$ , prechádzka sa zbalí do priamky: odchýlka bude $\sqrt{n} \cdot \Delta t = \sqrt{n} \cdot \tfrac{T}{n} = \tfrac{T}{\sqrt{n}} \to 0$ .

Ani jedno nie je model. Prvý nemá limit, druhý má limit nulový.

Odmocnina času

Skúsme krok veľkosti $\sqrt{\Delta t}$ :

\operatorname{Var}(X_T) = n \cdot \left(\sqrt{\Delta t}\right)^2 = n \cdot \Delta t = n \cdot \frac{T}{n} = T

Rozptyl na konci je $T$ bez ohľadu na to, koľko krokov sme použili. Sto krokov, milión krokov, ten istý výsledok. Máme netriviálny limit.

Fáza

1. Náhodná prechádzka

2. Preškálovaná

3. Brownov pohyb

Počet krokov n

440800

Horizont T

0.251 rokov4

Vybrané body zobrazenej dráhy
Čas	Hodnota
0	0
0,2	0,316
0,4	0,632
0,6	1,581
0,8	2,53
1	2,846

Dĺžka kroku Δt: 0,025
Veľkosť kroku √Δt: 0,1581
Možných koncov: 41
Rozptyl na konci: 1(nemení sa s n)

Prečo práve odmocnina

Wienerov proces

Limitným objektom je Wienerov proces, tiež nazývaný Brownov pohyb. Označuje sa $W_t$ a je definovaný štyrmi vlastnosťami.

Brownov pohyb (Wienerov proces)

Proces $\{W_t\}_{t \ge 0}$ je Brownov pohyb, ak:

$W_0 = 0$
prírastky na neprekrývajúcich sa intervaloch sú nezávislé
$W_t - W_s \sim \mathcal{N}(0,\, t-s)$ pre $0 \le s < t$
trajektórie sú spojité

Prejdime ich po jednej.

$W_0 = 0$

Nezávislé prírastky

Ako sa proces pohne od dneška do zajtra, nezávisí od toho, ako sa pohol od včera do dneška.

Formálne: pre $s_1 < t_1 \le s_2 < t_2$ sú $W_{t_1} - W_{s_1}$ a $W_{t_2} - W_{s_2}$ nezávislé náhodné veličiny.

Praktický dôsledok, ktorý sa v ďalších kapitolách používa neustále:

\operatorname{Var}(W_t - W_s) = t - s

Rozptyl závisí len od dĺžky intervalu, nie od toho, kde na časovej osi leží.

Normálne rozdelené prírastky

Prírastok za čas $\tau$ má rozdelenie $\mathcal{N}(0, \tau)$ : stredná hodnota nula, rozptyl $\tau$ , smerodajná odchýlka $\sqrt{\tau}$ .

Prechádzka teda nebola zvláštny prípad. Aj keby minca bola nespravodlivá alebo kroky nerovnako veľké, limit by bol ten istý.

Spojité trajektórie

Proces neskáče. Medzi dvoma blízkymi časmi je aj rozdiel hodnôt malý.

Toto je práve tá vlastnosť, ktorú diskrétny strom nemal: strom skáče z uzla do uzla a medzi nimi neexistuje. V limite skoky miznú, lebo veľkosť kroku $\sqrt{\Delta t}$ ide k nule.

Simulátor

Teraz sa na proces pozrite. Nasledujúci nástroj kreslí niekoľko nezávislých trajektórií naraz, s pásom $\pm\sigma\sqrt{t}$ za nimi.

Počet dráh

1830

Zvýraznenie

Všetky rovnako

Jedna dráha

Počet krokov

102501000

Časový horizont

0.251 rokov5

Volatilita σ

0.0520 %0.8

Vybrané body prvej simulovanej dráhy
Čas	Hodnota
0	0
0,2	0,081
0,4	0,004
0,6	-0,007
0,8	-0,102
1	-0,201

Teoretická odchýlka σ√T: 0,2
Výberová odchýlka: 0,19
Koncov v páse ±σ√T: 71 %(očakávaných 68 %)

Čo si všimnúť

Tri veci, ktoré stojí za to vyskúšať:

Stlačte „Generovať novú simuláciu" niekoľkokrát. Dráhy sa zakaždým úplne zmenia. Pás nie. To je celý obsah modelu: nehovorí, kam cena pôjde, hovorí, aká široká je množina miest, kam môže dôjsť.
Predĺžte horizont zo štvrť roka na štyri roky. Šestnásťnásobne dlhší čas rozšíri pás len štvornásobne. Odmocnina času, videná priamo.
Prepnite na jednu zvýraznenú dráhu a zvyšujte počet krokov. Dráha sa nevyhladzuje. S každým ďalším krokom pribúdajú menšie zuby, nie hladšia čiara.

Tá tretia vec je téma nasledujúcej sekcie.

Spojitý, ale nikde hladký

Brownov pohyb má spojité trajektórie. A napriek tomu nemá v žiadnom bode deriváciu.

Brownov pohyb ten smer nemá. Pozrite sa, čo sa stane pri približovaní.

Šírka okna

0.01100 %1

Časový horizont

0.251 rokov5

Volatilita σ

0.0520 %0.8

Vybrané body prvej simulovanej dráhy
Čas	Hodnota
0	0
0,2	-0,087
0,4	0,031
0,6	-0,09
0,8	0,038
1	0,205

Priblíženie

Dôvod je v škálovaní. Za čas $\Delta t$ sa proces pohne rádovo o $\sqrt{\Delta t}$ , takže priemerný sklon je

\frac{\Delta W}{\Delta t} \sim \frac{\sqrt{\Delta t}}{\Delta t} = \frac{1}{\sqrt{\Delta t}}

a to pri $\Delta t \to 0$ rastie nad všetky medze. Sklon neexistuje, lebo diverguje.

Prečo Brownov pohyb nie je cena akcie

Máme spojitý náhodný proces. Prečo teda nenapíšeme rovno $S_t = S_0 + \sigma W_t$ a nekončíme?

Dva dôvody, oba fatálne.

Obe námietky majú spoločné riešenie: náhodnosť nemá pôsobiť na cenu, ale na percentuálnu zmenu ceny.

\frac{dS}{S} = \mu\,dt + \sigma\,dW

Čítané po členoch: relatívna zmena ceny za nekonečne krátky čas sa skladá z predvídateľnej časti $\mu\,dt$ a náhodnej časti $\sigma\,dW$ . Roznásobením:

dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dW

Tomuto procesu sa hovorí geometrický Brownov pohyb a je to model, na ktorom stojí zvyšok kurzu.

Geometrický Brownov pohyb: $dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t$
$\mu$ je očakávaný výnos za rok, $\sigma$ volatilita za rok, $dW_t$ náhodný šok. Oba členy sú úmerné $S_t$ , čo je vecne správne: akcia sa hýbe v eurách tým viac, čím je drahšia, ale percentuálne rovnako.

Počet dráh

1830

Zvýraznenie

Všetky rovnako

Jedna dráha

Počet krokov

102501000

Časový horizont

0.253 rokov5

Volatilita σ

0.0525 %0.8

Drift μ

-0.28 %0.3

Vybrané body prvej simulovanej dráhy
Čas	Hodnota
0	100
0,6	122,633
1,2	107,017
1,8	107,489
2,4	90,116
3	74,939

Teoretická odchýlka σ√T: 0,433
Výberová odchýlka: 0,41
Koncov v páse ±σ√T: 71 %(očakávaných 68 %)

Čo si všimnúť

Cvičenia

Cvičenie

Quick check: rozptyl a odchýlka

Nech $W_t$ je Brownov pohyb.

Aký je rozptyl $W_4$ a aká je jeho smerodajná odchýlka?

Rozptyl W₄

Smerodajná odchýlka W₄

Cvičenie

Quick check: nezávislé prírastky

Ten istý proces. Aký je rozptyl prírastku $W_9 - W_4$ a aká je jeho odchýlka?

Rozptyl prírastku

Odchýlka prírastku

Cvičenie

Quick check: veľkosť kroku pri škálovaní

Rok delíme na 400 rovnakých krokov a chceme preškálovanú náhodnú prechádzku.

Aká veľká musí byť jedna zmena a aký rozptyl bude mať proces na konci roka?

Veľkosť kroku

Rozptyl na konci

Cvičenie

Veľkosť jedného kroku

Volatilita akcie je 25 % ročne. Strom delí rok na mesiace.

Aká je smerodajná odchýlka logaritmu ceny za jeden krok, teda $\sigma\sqrt{\Delta t}$ ? A aká je za celý rok?

Za jeden mesiac

Za rok

Cvičenie

Prečo odmocnina času

Volatilita je 20 % ročne. O koľko sa zmení smerodajná odchýlka, ak horizont predĺžime zo štyroch rokov na deväť?

Odchýlka za 4 roky

Odchýlka za 9 rokov

Cvičenie

Prepočet volatility na kratšie obdobia

Akcia má volatilitu 30 % ročne. Obchodník potrebuje vedieť, aká je typická zmena za týždeň a aká za jeden obchodný deň.

Rok má 52 týždňov a 252 obchodných dní.

Týždenná volatilita

Denná volatilita

Cvičenie

Kam sa proces zmestí

Logaritmus ceny akcie sa za rok pohne o $\sigma W_1$ , kde $\sigma = 20\ \%$ .

Použite pravidlo, že 95 % hodnôt normálneho rozdelenia leží v páse 1,96 odchýlky. V akom rozpätí skončí logaritmus ceny s pravdepodobnosťou 95 %? A v akom s pravdepodobnosťou 68 %?

Horná hranica 95 % pásu

Horná hranica 68 % pásu

Cvičenie

Challenge: strom a proces dávajú to isté

Spočítajte odchýlku logaritmu ceny za jeden krok v oboch stromoch a potom za celý rok. Nakoniec: aká je pravdepodobnosť, že logaritmus ceny skončí aspoň o 0,2 nad svojou strednou hodnotou?

Odchýlka kroku, 4 kroky

Odchýlka kroku, 100 krokov

Odchýlka za rok (oba stromy)

Pravdepodobnosť v %

Čo si zapamätať

Brownov pohyb je limit náhodnej prechádzky, nie samostatný vynález. Vzniká z toho istého stromu, keď krokov pribúda a každý sa zmenšuje.
Krok musí byť veľký $\sqrt{\Delta t}$ . Väčší a proces sa pri jemnení rozletí, menší a zbalí sa do priamky. Je to jediná mocnina, pri ktorej limit existuje.
Sčítavajú sa rozptyly, nie odchýlky. Z toho plynie všetko ostatné, vrátane toho, prečo sa volatilita prepočítava odmocninou času.
$W_t \sim \mathcal{N}(0,t)$ , prírastky sú nezávislé a závisia len od dĺžky intervalu.
Normálne rozdelenie sme si nevybrali. Vyplýva z centrálnej limitnej vety, a preto by limit vyšiel rovnako aj pri inak nastavenej prechádzke.
Trajektórie sú spojité, ale nikde nie sú hladké. Priemerný sklon na intervale $\Delta t$ rastie ako $1/\sqrt{\Delta t}$ , takže derivácia neexistuje. Toto je dôvod, prečo v ôsmej kapitole nebude stačiť bežný kalkulus.
Cenu akcie nemodeluje $W_t$ , ale geometrický Brownov pohyb $dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dW$ . Náhodnosť pôsobí na percentuálnu zmenu, nie na cenu, čím sa ošetrí aj zápornosť aj závislosť od úrovne.
Rovnicu zatiaľ vieme napísať, nie vyriešiť. Na to treba vedieť derivovať funkciu Brownovho pohybu, a to je téma nasledujúcej kapitoly.

Kapitoly

← Prehľad kurzu

Problém

Náhodná prechádzka

Od prechádzky k spojitému času

Odmocnina času

Wienerov proces

W0=0W_0 = 0W0​=0

Nezávislé prírastky

Normálne rozdelené prírastky

Spojité trajektórie

Simulátor

Spojitý, ale nikde hladký

Prečo Brownov pohyb nie je cena akcie

Cvičenia

Quick check: rozptyl a odchýlka

Quick check: nezávislé prírastky

Quick check: veľkosť kroku pri škálovaní

Veľkosť jedného kroku

Prečo odmocnina času

Prepočet volatility na kratšie obdobia

Kam sa proces zmestí

Challenge: strom a proces dávajú to isté

Čo si zapamätať

Kapitoly

Problém

Náhodná prechádzka

Od prechádzky k spojitému času

Odmocnina času

Wienerov proces

W0=0W_0 = 0W0​=0

Nezávislé prírastky

Normálne rozdelené prírastky

Spojité trajektórie

Simulátor

Spojitý, ale nikde hladký

Prečo Brownov pohyb nie je cena akcie

Cvičenia

Quick check: rozptyl a odchýlka

Quick check: nezávislé prírastky

Quick check: veľkosť kroku pri škálovaní

Veľkosť jedného kroku

Prečo odmocnina času

Prepočet volatility na kratšie obdobia

Kam sa proces zmestí

Challenge: strom a proces dávajú to isté

Čo si zapamätať

Kapitoly

$W_0 = 0$

$W_0 = 0$