Black–Scholes martingálovým prístupom

Problém

Deviata kapitola skončila konštatovaním, že aparát je hotový. Máme mieru $\mathbb{Q}$, pod ktorou akcia rastie bezrizikovou sadzbou, a vieme, že pod ňou je diskontovaná cena martingálom.

Zostáva jediná otázka: ako z toho dostaneme číslo?

Odpoveď už poznáme z diskrétneho modelu. Vo štvrtej kapitole sme cenu opcie počítali ako priemer výplat vážený riziko-neutrálnymi váhami a potom diskontovaný:

$$C_0 = \frac{q\,C_u + (1-q)\,C_d}{1+r}$$

V spojitom čase je to presne to isté, len sa súčet cez dva uzly stane integrálom cez všetky možné koncové ceny:

$$V_0 = e^{-rT}\,\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\left[\text{výplata}\right]$$

Táto kapitola ten integrál naozaj spočíta. Cesta má štyri kroky: vyriešiť rovnicu ceny akcie, zistiť rozdelenie koncovej ceny, rozdeliť výplatu na dva zvládnuteľné kusy a každý z nich vyhodnotiť.

Prečo geometrický Brownov pohyb

Siedma kapitola zaviedla model ceny akcie:

$$dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t$$

Stojí za to sa ešte raz zastaviť pri tom, prečo práve tento tvar. Nie je to estetická voľba; obe alternatívy zlyhajú na konkrétnej vecnej námietke.

Prečo nie priamo Brownov pohyb

Najjednoduchší model by bol $S_t = S_0 + \sigma S_0 W_t$: cena sa hýbe priamo s $W$. Má dve fatálne chyby.

Cena by mohla klesnúť pod nulu. $W_t$ je normálne rozdelený a nadobúda ľubovoľne záporné hodnoty. Akcia na nulu klesnúť môže, pod nulu nie: akcionár ručí len vkladom.

Pohyb by nezávisel od úrovne ceny. Model by tvrdil, že akcia za 5 € a akcia za 500 € kolíšu v eurách rovnako. Trh sa tak nespráva.

Pozrite sa na oba problémy naraz.

Počet dráh

1830

Zvýraznenie

Všetky rovnako

Jedna dráha

Počet krokov

102501000

Časový horizont

0.253 rokov5

Volatilita σ

0.0530 %0.8

Drift μ

-0.28 %0.3

Generovať novú simuláciu

Vybrané body prvej simulovanej dráhy

Čas	Hodnota
0	100
0,6	125,774
1,2	110,718
1,8	112,536
2,4	92,671
3	71,83

Teoretická odchýlka σ√T

0,52

Výberová odchýlka

0,492

Koncov v páse ±σ√T

71 %(očakávaných 68 %)

Obe čísla sa merajú na 500 nezávislých koncoch, nie na nakreslených dráhach. Z desiatich dráh by podiel skákal medzi 30 % a 90 % podľa toho, čo náhoda práve spravila, a vyzeralo by to, že model neplatí.

Čo si všimnúť

Stlačte tlačidlo niekoľkokrát. Dráhy sa zakaždým úplne zmenia, ale pás okolo nich nie: jeho šírka závisí len od σ a od času, nie od toho, čo náhoda práve spravila. Model nehovorí, kam cena pôjde. Hovorí, aká široká je množina miest, kam môže dôjsť.

Zvýšte volatilitu na 60 % a predĺžte horizont. Časť dráh prejde pod nulu, čo je pri akcii nemožné. A všimnite si šírku pásu: je rovnaká hore aj dole, pretože model nevie, že percentuálny pokles o 50 % a rast o 50 % nie sú symetrické udalosti.

Čo geometrický tvar opravuje

Riešenie je nechať náhodnosť pôsobiť na percentuálnu zmenu, nie na cenu:

$$\frac{dS_t}{S_t} = \mu\,dt + \sigma\,dW_t$$

Roznásobením dostaneme model, ktorý používame.

Počet dráh

1830

Zvýraznenie

Všetky rovnako

Jedna dráha

Počet krokov

102501000

Časový horizont

0.253 rokov5

Volatilita σ

0.0530 %0.8

Drift μ

-0.28 %0.3

Generovať novú simuláciu

Vybrané body prvej simulovanej dráhy

Čas	Hodnota
0	100
0,6	125,953
1,2	105,462
1,8	104,536
2,4	83,419
3	65,922

Teoretická odchýlka σ√T

0,52

Výberová odchýlka

0,492

Koncov v páse ±σ√T

71 %(očakávaných 68 %)

Obe čísla sa merajú na 500 nezávislých koncoch, nie na nakreslených dráhach. Z desiatich dráh by podiel skákal medzi 30 % a 90 % podľa toho, čo náhoda práve spravila, a vyzeralo by to, že model neplatí.

Čo si všimnúť

Stlačte tlačidlo niekoľkokrát. Dráhy sa zakaždým úplne zmenia, ale pás okolo nich nie: jeho šírka závisí len od σ a od času, nie od toho, čo náhoda práve spravila. Model nehovorí, kam cena pôjde. Hovorí, aká široká je množina miest, kam môže dôjsť.

Ten istý horizont, tá istá volatilita, a teraz sa nič nedostane pod nulu. Pás je navyše asymetrický: nahor širší než nadol, čo je podpis lognormálneho rozdelenia.

Riziko-neutrálna dynamika

Deviata kapitola nahradila $\mu$ bezrizikovou sadzbou. Zopakujme, čo sa zmenilo a čo nie:

$$\text{pod } \mathbb{P}: \quad dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t^{\mathbb{P}}$$ $$\text{pod } \mathbb{Q}: \quad dS_t = rS_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t^{\mathbb{Q}}$$

Drift sa zmenil, volatilita nie. A práve preto sa dá oceňovať: $r$ aj $\sigma$ sú pozorovateľné, kým $\mu$ nie je.

Od tohto momentu pracujeme výhradne pod $\mathbb{Q}$. Kde bude v ďalšom texte $r$, na jeho mieste by pod skutočnou mierou stálo $\mu$.

Riešenie rovnice

Rovnicu vieme napísať. Teraz ju vyriešme, teda nájdime vzorec pre $S_T$.

Krok 1: prečo priamo nemôžeme integrovať.

$dS = rS\,dt + \sigma S\,dW$ má na oboch stranách $S$. V bežnom kalkule by sme vydelili $S$ a integrovali logaritmus. Tu to nejde priamo, lebo $S$ nie je hladká funkcia času a bežné pravidlo o derivácii zloženej funkcie neplatí.

Krok 2: použijeme Itôovu lemu na $f = \ln S$.

Toto je presne výpočet z ôsmej kapitoly, len s $r$ namiesto $\mu$. Derivácie:

$$\frac{\partial f}{\partial S} = \frac{1}{S}, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} = -\frac{1}{S^2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial t} = 0$$

Krok 3: dosadíme do lemy.

$$d(\ln S) = \left(rS \cdot \frac{1}{S} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2 \cdot \left(-\frac{1}{S^2}\right)\right)dt + \sigma S \cdot \frac{1}{S}\,dW^{\mathbb{Q}}$$

Krok 4: vykrátime.

$$d(\ln S_t) = \left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)dt + \sigma\,dW_t^{\mathbb{Q}}$$

Toto je ten okamih, kvôli ktorému sme celú ôsmu kapitolu robili. Pravá strana nezávisí od $S$. Logaritmus ceny je obyčajný Brownov pohyb s konštantným driftom, a taký sa integrovať dá.

Krok 5: integrujeme od 0 po $T$.

$$\ln S_T - \ln S_0 = \left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)T + \sigma\left(W_T^{\mathbb{Q}} - W_0^{\mathbb{Q}}\right)$$

Keďže $W_0 = 0$:

$$\ln\frac{S_T}{S_0} = \left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)T + \sigma W_T^{\mathbb{Q}}$$

Krok 6: zbavíme sa logaritmu.

$$\boxed{\;S_T = S_0\exp\!\left[\left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)T + \sigma W_T^{\mathbb{Q}}\right]\;}$$

Krok 7: nahradíme $W_T$ štandardným normálnym.

Zo siedmej kapitoly vieme, že $W_T \sim \mathcal{N}(0,T)$, takže sa dá napísať ako $\sqrt{T}\,Z$, kde $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$:

$$S_T = S_0\exp\!\left[\left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)T + \sigma\sqrt{T}\,Z\right]$$

Toto je tvar, s ktorým sa počíta. Jedno štandardné normálne číslo určuje celý koncový stav sveta.

Rozdelenie koncovej ceny

Z predchádzajúceho vzorca vyplýva rozdelenie okamžite.

Logaritmus ceny je konštanta plus $\sigma\sqrt{T}Z$, čo je normálne rozdelenie:

$$\ln S_T \sim \mathcal{N}\!\left(\ln S_0 + \left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)T,\;\; \sigma^2T\right)$$

Lognormálne rozdelenie

Náhodná veličina má lognormálne rozdelenie, ak má jej logaritmus rozdelenie normálne.

Rozdiel medzi tými dvoma je pre celý zvyšok kurzu podstatný:

Dôsledky, ktoré treba vidieť:

Cena nemôže byť záporná, lebo exponenciála je vždy kladná. Model to nemá ako predpoklad, vyplýva to z tvaru riešenia.

Rozdelenie je asymetrické. Akcia môže stratiť najviac 100 %, ale získať môže neobmedzene. Zošikmenie doprava je len iný zápis tejto samozrejmosti.

Volatilita rozťahuje rozdelenie na obe strany, ale nie rovnako: pri vyššom $\sigma$ sa medián posúva nadol (kvôli členu $-\sigma^2/2$), kým priemer ostáva na $S_0e^{rT}$.

Ocenenie ako stredná hodnota

Máme rozdelenie a máme vzorec. Zložme ich:

$$V_0 = e^{-rT}\,\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\left[\text{výplata}(S_T)\right]$$

Pre kúpnu opciu:

$$C_0 = e^{-rT}\,\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\left[\max(S_T - K,\,0)\right]$$

A tu narazíme na skutočný technický problém. Stredná hodnota zalomenej funkcie sa nedá spočítať dosadením strednej hodnoty do funkcie:

$$\mathbb{E}\left[\max(S_T - K, 0)\right] \;\ne\; \max\left(\mathbb{E}[S_T] - K,\, 0\right)$$

Ľavá strana je vždy väčšia. To nie je nepresnosť, to je celý dôvod, prečo má opcia mimo peňazí kladnú hodnotu: aj keď je priemerná koncová cena pod realizačnou, časť scenárov je nad ňou a tie vyplatia.

Musíme teda naozaj integrovať cez rozdelenie.

Rozdelenie výplaty na dva kusy

Trik, ktorý celý výpočet umožní, je zápis pomocou indikátora.

Indikátorová funkcia

$\mathbb{1}_{\{S_T > K\}}$ je náhodná veličina, ktorá je 1, keď podmienka platí, a 0, keď neplatí.

Jej stredná hodnota je preto priamo pravdepodobnosť tej podmienky: $\mathbb{E}[\mathbb{1}_A] = \mathbb{P}(A)$.

Kúpna opcia vyplatí $S_T - K$ práve vtedy, keď je to kladné, teda keď $S_T > K$. Takže:

$$\max(S_T - K, 0) = (S_T - K)\,\mathbb{1}_{\{S_T > K\}} = S_T\,\mathbb{1}_{\{S_T > K\}} - K\,\mathbb{1}_{\{S_T > K\}}$$

Zoberme strednú hodnotu, ktorá je lineárna:

$$C_0 = e^{-rT}\,\underbrace{\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\left[S_T\,\mathbb{1}_{\{S_T > K\}}\right]}_{\text{prvý člen}} \;-\; e^{-rT}K\,\underbrace{\mathbb{Q}(S_T > K)}_{\text{druhý člen}}$$

Zalomená výplata sa rozpadla na dva kusy, z ktorých je každý zvládnuteľný.

Druhý člen je jednoduchý: pravdepodobnosť, že opcia skončí v peniazoch, vynásobená realizačnou cenou a diskontovaná. Je to očakávaná platba za akciu.

Prvý člen je zložitejší: nie je to obyčajná pravdepodobnosť, ale stredná hodnota ceny vážená tým, že akcia skončí vysoko. Scenáre s vyššou cenou prispievajú viac.

Vyhodnotenie oboch členov

Základná intuícia

Oba členy sú „koľko z rozdelenia leží napravo od $K$". Rozdiel je v tom, čím sa jednotlivé scenáre vážia: druhý ich váži rovnako, prvý ich váži cenou.

Obe váhy vyjdú ako plocha pod normálnou krivkou, teda ako $N(\text{niečo})$. To „niečo" sa líši práve o $\sigma\sqrt{T}$, a to je celý vzťah $d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$.

Matematické odvodenie

Druhý člen. Podmienka $S_T > K$ je po zlogaritmovaní

$$\ln S_0 + \left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)T + \sigma\sqrt{T}\,Z > \ln K$$

Osamostatnením $Z$:

$$Z > \frac{\ln(K/S_0) - \left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}} = -\,\frac{\ln(S_0/K) + \left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}}$$

Ten zlomok si označme $-d_2$, teda

$$d_2 = \frac{\ln(S_0/K) + \left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}}$$

Potom $\mathbb{Q}(S_T > K) = \mathbb{Q}(Z > -d_2)$, a keďže je normálne rozdelenie symetrické, to sa rovná $\mathbb{Q}(Z < d_2) = N(d_2)$.

Druhý člen je teda $Ke^{-rT}N(d_2)$.

Prvý člen. Tu treba spočítať integrál

$$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\left[S_T\,\mathbb{1}_{\{S_T>K\}}\right] = \int_{-d_2}^{\infty} S_0e^{(r - \sigma^2/2)T + \sigma\sqrt{T}z}\,\varphi(z)\,dz$$

kde $\varphi$ je hustota štandardného normálneho rozdelenia. Kľúčový krok je zlúčiť exponenciálu s hustotou:

$$e^{\sigma\sqrt{T}z} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(z - \sigma\sqrt{T}\right)^2} \cdot e^{\sigma^2T/2}$$

To je doplnenie na štvorec a je to jediný netriviálny krok celého odvodenia. Overiť ho možno roznásobením zátvorky: $-\tfrac12(z - \sigma\sqrt{T})^2 = -\tfrac12 z^2 + \sigma\sqrt{T}z - \tfrac12\sigma^2T$.

Vznikla tým posunutá normálna hustota so stredom $\sigma\sqrt{T}$. Substitúciou $y = z - \sigma\sqrt{T}$ sa integrál stane obyčajnou distribučnou funkciou, len s posunutou dolnou hranicou:

$$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\left[S_T\,\mathbb{1}_{\{S_T>K\}}\right] = S_0e^{rT}\,N\!\left(d_2 + \sigma\sqrt{T}\right)$$

A to posunuté číslo je práve $d_1$:

$$d_1 = d_2 + \sigma\sqrt{T} = \frac{\ln(S_0/K) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}}$$

Všimnite si, že sa pritom $-\sigma^2/2$ v čitateli zmenilo na $+\sigma^2/2$. To nie je nová definícia, len dôsledok pripočítania $\sigma\sqrt{T}$.

Zloženie.

$$C_0 = e^{-rT}\left[S_0e^{rT}N(d_1) - K\,N(d_2)\right]$$ $$\boxed{\;C_0 = S_0\,N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)\;}$$

Diskontný faktor sa v prvom člene vykrátil s $e^{rT}$, a preto tam žiadny nie je.

Pokročilé detaily

Interaktívne: kde sa cena berie

Nasledujúci nástroj kreslí to rozdelenie, integruje cezeň a prevedie vás štyrmi krokmi od plochy k cene.

Cena akcie dnes S₀

20100,00 €200

Realizačná cena K

20100,00 €200

Volatilita σ

0.0530,00 %0.8

Bezriziková sadzba r

05,00 %0.15

Čas do expirácie T

0.251 rokov5

Počet simulácií

100200020000

Nová simulácia

Hustota rozdelenia pri vybraných cenách

Cena	Hustota
26,05 €	0
40,86 €	0,00036
64,08 €	0,00674
100,50 €	0,01323
157,62 €	0,00274
247,19 €	0,00006
387,68 €	0

Stredná hodnota E^Q[S_T]

105,13 €

S₀e^(rT), rastie bezrizikovou sadzbou

Medián

100,50 €

S₀e^((r−σ²/2)T), nižší kvôli Itôovej korekcii

Od rozdelenia k cene

1. 1.Pravdepodobnosť, že opcia skončí v peniazochQ(S_T > K), teda podiel vyfarbenej plochy50,66 %
2. 2.Očakávaná cena akcie v tých scenárochE^Q[S_T · 1] , vážená cenou, nie len počtom65,63 €
3. 3.Očakávaná výplatarozdiel predchádzajúcich dvoch po odčítaní K14,96 €
4. 4.Diskontovaná očakávaná výplatavynásobené e^(−rT), a to je už cena opcie14,23 €

Kontrola

Uzavretý vzorec

14,23 €

Priemer zo simulácií

14,16 €

Rozdiel

-0,07 €

d₁ = 0,3167 · d₂ = 0,0167

Čo si všimnúť

Zvyšujte volatilitu. Vyfarbená plocha sa naťahuje doprava aj doľava, ale opcia z ľavej strany nič nestráca, lebo tam už vypláca nulu. Rastie teda len to, čo môže získať, a preto opcia s vyššou volatilitou stojí viac. Toto je celý dôvod, prečo je volatilita cenotvorná.

Toto nie je predpoveď

Krivka nehovorí, kde akcia skutočne skončí. Je nakreslená pod mierou Q, v ktorej akcia rastie bezrizikovou sadzbou, a tá miera je výpočtový nástroj z deviatej kapitoly, nie prognóza.

Čo vyskúšať:

1. Sledujte štyri kroky pod grafom. Sú to presne tie štyri čísla z odvodenia: pravdepodobnosť, vážená očakávaná cena, ich rozdiel a diskont.
2. Porovnajte uzavretý vzorec so simuláciou. Priemer z niekoľkých tisíc náhodne vygenerovaných výplat sedí s presnou cenou na haliere, a nevie pritom nič o $d_1$ ani $d_2$. Vzorec je naozaj len priemer.
3. Zvyšujte volatilitu. Vyfarbená plocha sa naťahuje na obe strany, ale doľava už opcia nič nestráca. Preto vyššia volatilita vždy zdražuje opciu.
4. Posuňte realizačnú cenu vysoko nad aktuálnu. Pravdepodobnosť klesne takmer na nulu, cena tiež, ale nikdy nie presne na nulu. Vždy zostane nejaká šanca.

Časté nedorozumenia

Je $\mathbb{Q}$ predpoveď vývoja akcie?

Nie. Krivka rozdelenia je nakreslená pod mierou, v ktorej akcia rastie bezrizikovou sadzbou. Nikto netvrdí, že to tak naozaj bude. Je to váhová schéma, pri ktorej cena nepripúšťa arbitráž, a nič viac.

Znamená vyššia cena opcie vyššiu pravdepodobnosť rastu?

Nie. Cena opcie rastie s volatilitou, teda s šírkou rozdelenia, nie s jeho posunom. Dve akcie s rovnakou dnešnou cenou a rovnakou volatilitou majú rovnako drahé opcie, aj keby si o jednej celý trh myslel, že klesne.

Je stredná hodnota ceny to isté ako typický scenár?

Nie, a rozdiel je Itôova korekcia. Pri $\sigma = 30\ \%$ a ročnom horizonte je medián o štyri a pol percenta pod priemerom. Kto plánuje podľa priemeru, plánuje podľa scenára, ktorý väčšina realizácií nedosiahne.

Prečo sa nedá dosadiť priemerná cena do výplaty?

Lebo výplata je zalomená, a stredná hodnota zalomenej funkcie nie je zalomená funkcia strednej hodnoty. Práve tento rozdiel je celá hodnota opcie mimo peňazí.

Cvičenia

Cvičenie

Quick check: od logaritmu k cene

Simulácia vygenerovala scenár, v ktorom vyšlo $\ln S_T = 4{,}5$.

Aká je v tomto scenári cena akcie?

Cena akcie

€

Skontrolovať

Cvičenie

Quick check: očakávaná cena pod Q

Akcia stojí 80 €, bezriziková sadzba je 3 % a horizont sú dva roky.

Aká je $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[S_2]$? Potrebujete na to volatilitu?

E^Q[S₂]

€

Skontrolovať

Cvičenie

Quick check: dva členy vzorca

Pri $S_0 = K = 100$ €, $r = 5\ \%$, $\sigma = 30\ \%$ a $T = 1$ platí $N(d_1) = 0{,}6243$ a $N(d_2) = 0{,}5066$.

Spočítajte oba členy vzorca a ich rozdiel.

Prvý člen S₀N(d₁)

€

Druhý člen Ke^(−rT)N(d₂)

€

Cena opcie

€

Skontrolovať

Cvičenie

Očakávaná koncová cena

Akcia stojí 100 €, volatilita 30 %, bezriziková sadzba 5 %, horizont rok.

Aká je stredná hodnota $\ln S_T$ pod mierou $\mathbb{Q}$, a aká je stredná hodnota samotnej ceny $S_T$?

Stredná hodnota ln S_T

Stredná hodnota S_T

€

Skontrolovať

Cvičenie

Jeden scenár z riešenia rovnice

Akcia stojí 50 €, sadzba je 4 %, volatilita 25 % a horizont dva roky. Vygenerované náhodné číslo je $Z = 1$, teda scenár o jednu smerodajnú odchýlku nad stredom.

Spočítajte oba členy exponentu a výslednú cenu.

Deterministický člen (r−σ²/2)T

Náhodný člen σ√T·Z

Cena S_T

€

Skontrolovať

Cvičenie

Priemer, medián a Itôova korekcia

Tá istá akcia: 50 €, $r = 4\ \%$, $\sigma = 25\ \%$, $T = 2$.

Spočítajte mediánovú a strednú koncovú cenu pod $\mathbb{Q}$.

Medián S_T

€

Stredná hodnota S_T

€

Skontrolovať

Cvičenie

Digitálna opcia priamo z definície

Digitálna opcia vyplatí 1 € práve vtedy, keď akcia skončí nad realizačnou cenou, inak nič. Pod mierou $\mathbb{Q}$ je pravdepodobnosť takého konca 0,5066.

Sadzba je 5 %, horizont rok. Koľko taká opcia stojí?

Cena digitálnej opcie

€

Skontrolovať

Cvičenie

Challenge: kúpna opcia ako rozdiel dvoch kontraktov

Vráťme sa k rozdeleniu výplaty na dva kusy. Existujú dva jednoduché kontrakty, ktoré tie kusy presne zodpovedajú:

Asset-or-nothing vyplatí jednu akciu, ak $S_T > K$, inak nič.

Cash-or-nothing vyplatí sumu $K$, ak $S_T > K$, inak nič.

Pri $S_0 = K = 100$ €, $r = 5\ \%$, $\sigma = 30\ \%$, $T = 1$, $N(d_1) = 0{,}6243$ a $N(d_2) = 0{,}5066$ spočítajte cenu oboch a overte, že ich rozdiel je cena bežnej kúpnej opcie.

Asset-or-nothing

€

Cash-or-nothing

€

Kúpna opcia

€

Skontrolovať

Čo si zapamätať

1. Oceňovanie má tri kroky: zmeň mieru, spočítaj strednú hodnotu výplaty, diskontuj. Zvyšok je technika.
2. Geometrický Brownov pohyb nie je estetická voľba. Aritmetický model pripúšťa zápornú cenu a tvrdí, že drahá aj lacná akcia kolíšu v eurách rovnako.
3. $d(\ln S) = (r - \tfrac{\sigma^2}{2})dt + \sigma\,dW^{\mathbb{Q}}$ má pravú stranu nezávislú od $S$, a preto sa dá integrovať.
4. $S_T = S_0\exp[(r - \tfrac{\sigma^2}{2})T + \sigma\sqrt{T}Z]$. Jedno štandardné normálne číslo určuje celý koncový stav.
5. $\ln S_T$ je normálne rozdelený, $S_T$ lognormálne. Cena je kladná, rozdelenie zošikmené doprava, priemer nad mediánom.
6. Zalomenú výplatu nemožno oceniť dosadením priemeru. Práve tento rozdiel je hodnota opcie mimo peňazí.
7. Indikátor rozdelí výplatu na dva kusy: akciu, ktorú dostanete, a peniaze, ktoré zaplatíte. Z prvého vznikne $N(d_1)$, z druhého $N(d_2)$.
8. $C_0 = S_0N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$, pričom v prvom člene diskontný faktor nie je, lebo sa vykrátil s rastom pod $\mathbb{Q}$.
9. Toto bola prvá z dvoch ciest k vzorcu. Nasledujúca kapitola príde k tomu istému výsledku bez jedinej pravdepodobnosti.