Strom, vzorec a Monte Carlo

Problém

Štrnásta kapitola ukázala kontrakty, ktoré uzavretý vzorec neocení: americkú opciu, bariérovú, ázijskú, lookback.

Nie je to zoznam kuriozít. Je to väčšina toho, čo sa na trhu obchoduje. Black–Scholesov vzorec platí pre jeden konkrétny kontrakt, a hoci je ten kontrakt najdôležitejší, sám o sebe nestačí.

Potrebujeme teda metódy, ktoré fungujú aj tam, kde vzorec nie. Máme tri a v kurze sme ich už všetky použili:

Táto kapitola ich postaví vedľa seba a povie, ktorú kedy použiť.

Metóda 1: uzavretý vzorec

$$C = S_0N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$$

Výhody. Okamžitý (jedno vyhodnotenie funkcie), presný na strojovú presnosť, a dá sa derivovať. Práve preto máme gréky v uzavretom tvare a nemusíme ich odhadovať numericky.

Nevýhody. Existuje len pre špecifické kontrakty za špecifických predpokladov: európska výplata, konštantná volatilita, žiadne dividendy, žiadne skoky.

Rozšírenia existujú (dividendy, meny, futures), ale každé z nich je nový vzorec pre nový prípad. Nová výplata znamená nové odvodenie, a väčšinou žiadne nevyjde.

Metóda 2: binomický strom

Čas sa rozdelí na $n$ krokov, v každom sa cena vynásobí $u$ alebo $d$, a hodnota sa spätnou indukciou zroluje k dnešku.

Výhody.

Je názorný: každý uzol je konkrétna cena a konkrétna hodnota, a dá sa na ne pozrieť.

Zvládne skoré uplatnenie jedným max navyše v uzle. To je jeho hlavná praktická prednosť a dôvod, prečo prežil.

Chyba klesá ako $1/n$, čo je slušné: štvornásobok krokov znamená štvrtinovú chybu.

Nevýhody.

Chyba osciluje. Nie je to hladké približovanie: podľa toho, kam medzi uzly padne realizačná cena, strom raz prestrelí a raz podstrelí. Presne to bolo vidieť už v tabuľke z piatej kapitoly.

Rozbije sa pri závislosti od cesty, ako ukázala štrnásta kapitola.

A počet uzlov rastie ako $n^2/2$, takže veľmi jemný strom je pomalý.

Metóda 3: Monte Carlo

Nasimulujeme veľa možných budúcností, na každej spočítame výplatu, spriemerujeme a diskontujeme.

$$V_0 \approx e^{-rT}\,\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\text{výplata}_i$$

Nie je to trik ani aproximácia zvonku: je to priama definícia ceny z desiatej kapitoly. Tam bola cena diskontovanou strednou hodnotou pod mierou $\mathbb{Q}$, a stredná hodnota sa dá odhadnúť priemerom vzorky.

Postup krok za krokom

Krok 1: vygeneruj náhodné číslo.

$$Z \sim \mathcal{N}(0,1)$$

Krok 2: preveď ho na koncovú cenu. Vzorcom z desiatej kapitoly, a to pod mierou $\mathbb{Q}$, teda s driftom $r$:

$$S_T = S_0\exp\!\left[\left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)T + \sigma\sqrt{T}\,Z\right]$$

Krok 3: spočítaj výplatu.

$$\text{výplata} = \max(S_T - K,\, 0)$$

Krok 4: opakuj $N$ krát a spriemeruj.

Krok 5: diskontuj vynásobením $e^{-rT}$.

Zákon veľkých čísel a jeho cena

Presnosť rastie s počtom simulácií, ale pomaly.

Chyba Monte Carla

Štandardná chyba odhadu klesá ako

$$\text{chyba} \propto \frac{1}{\sqrt{N}}$$

Na polovičnú chybu treba štvornásobok simulácií. Na desatinovú treba stonásobok.

Konkrétne, pre našu opciu (100 €, realizačná cena 100 €, volatilita 30 %, sadzba 5 %, rok, presná cena 14,2313 €):

Tisícnásobok práce znížil chybu tridsaťkrát, presne ako $\sqrt{1000} \approx 31{,}6$.

Za pozornosť stojí prvý riadok: pri stovke simulácií je interval taký široký, že by sa doň zmestila aj polovičná aj dvojnásobná cena. Odhad bez intervalu spoľahlivosti je pri Monte Carle nepoužiteľný údaj.

Interaktívne: celá simulácia naraz

Typ opcie

Kúpna (call)

Predajná (put)

Cena akcie S₀

40100,00 €180

Realizačná cena K

40100,00 €180

Volatilita σ

0.0530,0 %0.8

Čas do expirácie T

0.251 rokov3

Bezriziková sadzba r

05,0 %0.15

Počet simulácií N

100500050000

Nová simulácia

Výsledok

Monte Carlo cena

14,34 €

Black–Scholesova cena

14,23 €

Štandardná chyba

0,32 €

95 % interval

13,72 € – 14,97 €

Rozdiel oproti vzorcu

0,11 €

Podiel dráh v peniazoch

50,4 %

Niekoľko simulovaných dráh

Nakreslených je dvanásť dráh, ale odhad počíta so všetkými N. Európska výplata potrebuje len koncovú cenu, takže sa celé dráhy pre výpočet ani nestavajú.

Kde dráhy skončili

Kde dráhy skončili

od	do	podiel
33,82 €	39,83 €	0.2
63,87 €	69,88 €	4.7
93,92 €	99,93 €	8.4
123,96 €	129,97 €	4.3
154,01 €	160,02 €	1.8
184,06 €	190,07 €	0.4
214,10 €	220,11 €	0.2
244,15 €	250,16 €	0.0

Čo tie dráhy vyplatili

Čo tie dráhy vyplatili

od	do	podiel
0,00 €	4,35 €	55.6
21,77 €	26,13 €	3.5
43,55 €	47,90 €	2.0
65,32 €	69,68 €	1.0
87,10 €	91,45 €	0.4
108,87 €	113,23 €	0.2
130,65 €	135,00 €	0.1
152,42 €	156,78 €	0.0

Ľavý histogram je lognormálne rozdelenie z desiatej kapitoly, vygenerované namiesto odvodené. Pravý je jeho zalomený obraz: všetko pod realizačnou cenou spadlo do jedného stĺpca na nule, a práve tá asymetria robí opciu opciou.

Ako sa odhad ustaľuje

• Odhad
• 95 % interval
• Uzavretý vzorec

Čo si všimnúť

Zvyšujte počet simulácií a sledujte šírku intervalu. Aby sa chyba zmenšila na polovicu, treba štvornásobok simulácií; na desatinu stonásobok. Preto sa Monte Carlo nepoužíva tam, kde stačí vzorec alebo strom.

Čo vyskúšať:

1. Sledujte spodný graf. Odhad sa potáca a postupne sa usadzuje. Pás okolo neho je 95 % interval a zužuje sa ako $1/\sqrt{N}$, teda čoraz pomalšie.
2. Porovnajte oba histogramy. Ľavý je lognormálne rozdelenie z desiatej kapitoly, tentoraz vygenerované namiesto odvodené. Pravý je jeho zalomený obraz: všetko pod realizačnou cenou spadlo do jedného stĺpca na nule.
3. Nastavte 100 simulácií a stlačte tlačidlo niekoľkokrát. Odhad skáče o eurá. Potom nastavte 50 000 a urobte to isté: skáče o centy.
4. Posuňte realizačnú cenu vysoko nad aktuálnu. Podiel dráh v peniazoch klesne pod pár percent a odhad sa stane veľmi nepresným, lebo drvivá väčšina simulácií neprispieva ničím.

Ten posledný bod je dôležitý: Monte Carlo je najhoršie práve tam, kde je udalosť vzácna. Na oceňovanie opcií hlboko mimo peňazí sa v surovej podobe nehodí a používajú sa techniky redukcie rozptylu.

Porovnanie metód

Dve poznámky k tabuľke:

„Áno, ťažko" pri skorom uplatnení a Monte Carle znamená konkrétnu vec. Simulácia ide dopredu v čase, ale rozhodnutie o uplatnení vyžaduje vedieť, koľko je hodné pokračovanie, čo je informácia z budúcnosti. Rieši sa to regresiou (Longstaff-Schwartzova metóda) a je to podstatne komplikovanejšie než jedno max v strome.

Chybová hranica je jediná vec, ktorú Monte Carlo dáva a ostatné dve nie. Simulácia so sebou nesie štatistický odhad vlastnej nepresnosti. Strom vám nepovie, ako ďaleko od pravdy je; treba to zistiť porovnaním viacerých jemností.

Interaktívne: tri metódy na jednej opcii

Typ opcie

Kúpna (call)

Predajná (put)

Cena akcie S₀

40100,00 €180

Realizačná cena K

40100,00 €180

Volatilita σ

0.0530,0 %0.8

Čas do expirácie T

0.251 rokov3

Bezriziková sadzba r

05,0 %0.15

Krokov stromu

2100500

Simulácií Monte Carlo

1001000050000

Tá istá opcia, tri metódy

Metóda	Cena	Odchýlka od vzorca	Poznámka
Uzavretý vzorec	14,23 €	–	Referencia. Presná v rámci modelu, ale len pre európsku výplatu.
Binomický strom	14,20 €	-0,0294	Chyba klesá ako 1/n a strieda znamienko. Zvládne aj skoré uplatnenie.
Monte Carlo	13,88 €	-0,349	Chyba klesá ako 1/√N. Zvládne čokoľvek, vrátane závislosti od cesty.

Ako sa obe numerické metódy blížia k vzorcu

• Strom
• Monte Carlo

Vodorovná os je logaritmická a pre obe metódy znamená niečo iné: pri strome počet krokov, pri simulácii počet dráh. Práve preto ich nemožno porovnávať zvisle po stĺpcoch, ale podľa sklonu: strom klesá rýchlejšie.

Ako to čítať

Obe krivky idú k nule, ale inak. Strom sa hodnote blíži hladko a jeho odchýlka strieda znamienko podľa toho, kam medzi uzly padne realizačná cena. Monte Carlo sa potáca, lebo jeho chyba je náhodná; klesá len v priemere a pri každom novom seede vyzerá inak.

Všetky tri oceňujú tú istú opciu tými istými parametrami. Zhodujú sa, v rámci svojich chýb.

Zaujímavejší je graf pod tabuľkou. Obe numerické metódy sú na ňom vynesené proti vlastnej práci, s presnou hodnotou ako nulovou hladinou.

Strom klesá hladko a strieda znamienko. Odchýlka je pri piatich krokoch +0,56 €, pri dvadsiatich piatich +0,11 €, pri stovke −0,03 €. Znamienko sa mení podľa toho, kam medzi uzly padne realizačná cena.

Monte Carlo sa potáca. Jeho chyba je sama náhodná: klesá len v priemere a pri každom novom seede vyzerá inak. Skúste v predchádzajúcom nástroji stlačiť tlačidlo a graf bude iný.

Časté nedorozumenia

Monte Carlo nie je presnejšie než strom.

Je len použiteľné na širšiu triedu problémov. Pri európskej opcii je strom rýchlejší aj presnejší.

Výsledok simulácie je odhad, nie hodnota.

Bez intervalu spoľahlivosti je to číslo, ktorého poslednými dvoma číslicami sa nedá argumentovať.

Viac simulácií nerobí model správnejším.

Znižuje numerickú chybu, teda vzdialenosť od hodnoty, ktorú model dáva. Nič nerobí s modelovou chybou, teda so vzdialenosťou tej hodnoty od reality. Milión simulácií nesprávneho modelu dá veľmi presnú nesprávnu odpoveď.

Jemnejší strom nie je vždy bližšie.

Chyba osciluje, takže strom so 101 krokmi môže byť bližšie než so 102. Preto sa v praxi priemerujú dva susedné počty krokov.

Simulácia sa nerobí pod skutočnou mierou.

Drift v generátore je $r$, nie $\mu$. Chyba v tomto mieste dá číslo, ktoré vyzerá rozumne a je zlé.

Cvičenia

Cvičenie

Quick check: ktorá metóda

Potrebujete oceniť ázijskú opciu na priemernú cenu ropy za rok, s možnosťou uplatnenia len na konci.

Ktorá metóda je jediná použiteľná? Zadajte 1 pre vzorec, 2 pre strom, 3 pre Monte Carlo.

Metóda

Skontrolovať

Cvičenie

Quick check: čo znamená interval

Simulácia s 10 000 dráhami dala odhad 14,06 € so štandardnou chybou 0,22 €.

Aká je horná hranica 95 % intervalu spoľahlivosti?

Horná hranica

€

Skontrolovať

Cvičenie

Quick check: prečo r a nie μ

Pri Monte Carlo simulácii ocenenia opcie dosadíte do generátora koncových cien drift.

Ktorý? Zadajte 1 pre očakávaný výnos akcie μ, 2 pre bezrizikovú sadzbu r.

Drift

Skontrolovať

Cvičenie

Jedna simulovaná cesta

Akcia stojí 100 €, volatilita 30 %, sadzba 5 %, horizont rok. Generátor vytiahol $Z = 1$.

Aká koncová cena z toho vyjde a akú výplatu má kúpna opcia s realizačnou cenou 100 €?

Koncová cena S_T

€

Výplata opcie

€

Skontrolovať

Cvičenie

Koľko simulácií treba

Simulácia so 40 000 cestami dáva chybu približne 0,08 €.

Koľko ciest treba na chybu 0,02 €?

Počet ciest

Skontrolovať

Cvičenie

Ako sa zlepšuje strom

Binomický strom oceňuje tú istú opciu (presná cena 14,2313 €) s rôznym počtom krokov:

Krokov	Cena stromu
5	14,7893 €
25	14,3415 €
100	14,2018 €

Spočítajte odchýlku pri 5 a pri 100 krokoch. Klesla dvadsaťnásobne, ako by hovorilo pravidlo $1/n$?

Odchýlka pri 5 krokoch

€

Odchýlka pri 100 krokoch

€

Skontrolovať

Cvičenie

Porovnanie práce

Chcete znížiť chybu ocenenia na desatinu.

O koľkonásobok treba zvýšiť počet krokov stromu a o koľkonásobok počet simulácií Monte Carla?

Násobok krokov stromu

Násobok simulácií

Skontrolovať

Cvičenie

Challenge: kedy sa Monte Carlo pokazí

Simulácia oceňuje kúpnu opciu hlboko mimo peňazí. Z 10 000 dráh skončí v peniazoch len 120.

Aký podiel dráh prispel k odhadu? A koľko simulácií by bolo treba, aby v peniazoch skončilo aspoň 10 000 dráh, teda toľko, koľko ich pri opcii na peniazoch prispieva takmer polovica?

Podiel prispievajúcich v %

%

Potrebných simulácií

Skontrolovať

Čo si zapamätať

1. Tri metódy, tri rôzne kompromisy. Vzorec je najrýchlejší, strom najnázornejší, simulácia najvšeobecnejšia.
2. Vzorec je okamžitý a presný, ale existuje len pre špecifické kontrakty a špecifické predpoklady.
3. Strom má chybu $\sim 1/n$, ktorá osciluje, zvládne skoré uplatnenie a rozbije sa pri závislosti od cesty.
4. Monte Carlo má chybu $\sim 1/\sqrt{N}$, čo je pomaly, ale nezávisí od zložitosti výplaty ani od počtu podkladov.
5. V generátore musí byť $r$, nie $\mu$. Cena je stredná hodnota pod $\mathbb{Q}$.
6. Monte Carlo ako jediné dáva vlastnú chybovú hranicu. Odhad bez intervalu spoľahlivosti je neúplný údaj.
7. Viac simulácií znižuje numerickú chybu, nie modelovú. Presná odpoveď zlého modelu je stále zlá.
8. Pravidlo: európska opcia → vzorec; skoré uplatnenie → strom; závislosť od cesty alebo viac podkladov → simulácia.
9. Simulácia je najhoršia tam, kde je udalosť vzácna, lebo väčšina dráh neprispeje ničím. Vtedy nastupujú techniky redukcie rozptylu.