Kapitola 12 z 17

Black–Scholesov vzorec

Dva členy, dva významy, päť parametrov a to, čo vzorec nehovorí.

25 minút

Kde sme

Dve kapitoly, dve odvodenia, jeden výsledok.

Desiata kapitola spočítala diskontovanú strednú hodnotu výplaty pod mierou $\mathbb{Q}$ . Jedenásta zložila zaistené portfólio a nechala z neho vypadnúť parciálnu diferenciálnu rovnicu. Obe skončili na tom istom mieste:

C = S_0\,N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)

Táto kapitola sa už nič neodvodzuje. Rozoberá vzorec na súčiastky a odpovedá na otázku, ktorú si po dvoch matematických kapitolách zaslúži každý: čo tie symboly vlastne znamenajú a čo s nimi robiť.

Vzorec

Black–Scholesov vzorec pre európsku kúpnu opciu: $C = S_0\,N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$ $d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}}, \qquad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$

Päť vstupov a jedna funkcia:

Symbol	Čo to je	Odkiaľ sa berie
$S_0$	aktuálna cena podkladu	z trhu, priamo
$K$	realizačná cena	zo zmluvy
$T$	čas do expirácie v rokoch	zo zmluvy
$r$	bezriziková sadzba, spojito úročená	z trhu dlhopisov
$\sigma$	ročná volatilita podkladu	jediný odhadovaný parameter
$N(\cdot)$	distribučná funkcia normálneho rozdelenia	z tabuľky alebo kalkulačky

Ten posledný riadok predchádzajúcej tabuľky je celý zvyšok kurzu. Štyri vstupy sa dajú odčítať, piaty nie, a preto sa okolo neho točí celý trh s opciami. Pätnásta kapitola je o tom, čo sa stane, keď sa $\sigma$ prestane odhadovať z histórie a začne sa čítať z cien.

Ako vzorec čítať

Rozdeľme ho na dva členy a čítajme každý zvlášť.

\underbrace{S_0N(d_1)}_{\text{čo dostanem}} \;-\; \underbrace{Ke^{-rT}N(d_2)}_{\text{čo zaplatím}}

Kúpna opcia je právo vymeniť peniaze za akciu. Prvý člen je dnešná hodnota toho, čo v tej výmene dostanem, druhý dnešná hodnota toho, čo za to dám. Cena je ich rozdiel.

Desiata kapitola ukázala, že oba členy sú aj samostatne obchodovateľné kontrakty: prvý je asset-or-nothing opcia, druhý cash-or-nothing.

$N(d_2)$

Význam N(d₂): $N(d_2)$ je riziko-neutrálna pravdepodobnosť, že opcia skončí v peniazoch, teda $\mathbb{Q}(S_T > K)$ .

Druhý člen je teda diskontovaná realizačná cena vážená šancou, že ju naozaj zaplatíte. Ak $N(d_2) = 0{,}51$ , potom v mierne nadpolovičnej väčšine riziko-neutrálnych scenárov k výmene dôjde.

Dôraz na slovo riziko-neutrálna. Nie je to skutočná pravdepodobnosť. Počíta sa pod mierou $\mathbb{Q}$ , v ktorej akcia rastie sadzbou $r$ ; pod skutočnou mierou by v čitateli stálo $\mu$ a číslo by bolo iné.

$N(d_1)$

Tu treba byť opatrný, lebo tu sa zjednodušené výklady bežne mýlia.

Význam N(d₁)

$N(d_1)$ je delta kúpnej opcie: koľko akcií treba držať na jej replikáciu.

Prvý člen $S_0N(d_1)$ je teda hodnota akcií, ktoré v zaisťovacom portfóliu držíte.

Toto je presne to $\Delta$ z tretej kapitoly, len v spojitom čase. Vzorec sa preto dá čítať ako

C = \Delta \cdot S_0 + B

teda „to, čo držím, mínus to, čo dlžím", čo je slovo za slovom replikačné portfólio z jednokrokového modelu. Druhý člen je pôžička, a je záporný z toho istého dôvodu, z akého bolo záporné $B = -76{,}92$ € v tretej kapitole.

Ten istý príklad, zavretým vzorcom

$S = K = 100$ €, $\sigma = 0{,}3$ , $r = 0{,}05$ , $T = 1$ .

$d_1 = \frac{0 + (0{,}05 + 0{,}045)}{0{,}3} = 0{,}3167$ , $d_2 = 0{,}3167 - 0{,}3 = 0{,}0167$ .

$N(d_1) = 0{,}6243$ , $N(d_2) = 0{,}5066$ .

$C = 100 \cdot 0{,}6243 - 100 \cdot 0{,}9512 \cdot 0{,}5066 = 62{,}43 - 48{,}19 = \mathbf{14{,}23}$ €.

Presne to číslo, ku ktorému sa strom v piatej kapitole blížil.

Predajná opcia a put-call parita

Cena predajnej opcie sa dá napísať priamo:

P = Ke^{-rT}N(-d_2) - S_0\,N(-d_1)

Sú to tie isté $d_1$ a $d_2$ , len so záporným znamienkom v argumente. Keďže $N(-x) = 1 - N(x)$ , dá sa to prepísať aj ako $Ke^{-rT}(1 - N(d_2)) - S_0(1 - N(d_1))$ .

Existuje však aj spôsob, ktorý model nepotrebuje vôbec.

Put-call parita: Kúpna a predajná opcia s tou istou realizačnou cenou a expiráciou sú viazané rovnosťou:
$C - P = S_0 - Ke^{-rT}$

Prečo musí platiť

Algebraicky. Odčítajte oba vzorce a použite $N(-x) = 1-N(x)$ :

C - P = S_0N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2) - Ke^{-rT}\left(1 - N(d_2)\right) + S_0\left(1 - N(d_1)\right)

Členy s $N(d_1)$ sa vyrušia, členy s $N(d_2)$ tiež, a zostane $S_0 - Ke^{-rT}$ .

Cez výplaty. Zoberme portfólio: kúpna opcia long, predajná short, obe s realizačnou cenou $K$ . Pri expirácii:

Scenár	Kúpna vyplatí	Predajná (short) vyplatí	Spolu
$S_T > K$	$S_T - K$	0	$S_T - K$
$S_T < K$	0	$-(K - S_T)$	$S_T - K$

V oboch prípadoch to isté: $S_T - K$ . To je presne výplata forwardu s dodacou cenou $K$ , ktorý podľa druhej kapitoly stojí $S_0 - Ke^{-rT}$ .

Bezarbitrážne. Keby parita neplatila, existuje istý zisk. Ak by bolo $C - P$ väčšie než $S_0 - Ke^{-rT}$ , predajte kúpnu, kúpte predajnú, kúpte akciu, požičajte si $Ke^{-rT}$ . Dnešný tok je kladný, budúci presne nulový v každom scenári.

Vplyv jednotlivých parametrov

Päť vstupov, päť smerov. Každý sa oplatí rozumieť skôr, než sa zapamätá.

Cena podkladu $S_0$ rastie

Kúpna opcia zdražie, predajná zlacnie.

Kúpna opcia je právo kúpiť za pevnú cenu. Čím vyššie je aktuálna cena, tým je to právo cennejšie. Predajná je právo predať za pevnú cenu, teda naopak.

Rýchlosť tejto zmeny je delta: $N(d_1)$ pre kúpnu, $N(d_1) - 1$ pre predajnú. Preto je delta kúpnej vždy medzi 0 a 1 a delta predajnej medzi $-1$ a 0.

Realizačná cena $K$ rastie

Kúpna opcia zlacnie, predajná zdražie.

Zrkadlový obraz predchádzajúceho. Právo kúpiť drahšie je menej cenné, právo predať drahšie je cennejšie.

Volatilita $\sigma$ rastie

Obe opcie zdražejú.

Toto je jediný parameter, ktorý pôsobí na obe rovnakým smerom, a stojí za to rozumieť prečo.

Vyššia volatilita rozťahuje rozdelenie koncovej ceny na obe strany. Držiteľ kúpnej opcie z toho na jednej strane získava (vyššie ceny vyplatia viac), ale na druhej nestráca nič, lebo pod realizačnou cenou už vypláca nulu tak či tak. Asymetria výplaty premení symetrické rozšírenie na jednostranný zisk.

Preto je opcia stávkou na veľkosť pohybu, nie na jeho smer, a preto je volatilita cenotvorná.

Čas do expirácie $T$ rastie

Vo všeobecnosti obe zdražejú, ale s dvoma nuansami.

Dlhší čas znamená viac priestoru na pohyb, teda vyššiu celkovú volatilitu $\sigma\sqrt{T}$ . To zdražuje obe.

Zároveň dlhší čas viac diskontuje realizačnú cenu, čo zdražuje kúpnu a zlacňuje predajnú.

Pri kúpnej opcii idú oba efekty tým istým smerom, takže dlhšia je vždy drahšia. Pri predajnej idú proti sebe: hlboko v peniazoch a pri vysokých sadzbách môže byť dlhšia európska predajná opcia lacnejšia. Dôvod je konkrétny: jej maximálna výplata je $K$ , a čím je expirácia ďalej, tým menej dnes tá suma stojí.

Bezriziková sadzba $r$ rastie

Kúpna zdražie, predajná zlacnie.

Najmenej intuitívny z piatich, a najlepšie sa vysvetlí cez replikáciu z jedenástej kapitoly. Kto replikuje kúpnu opciu, drží akcie a je zadlžený. Vyššia sadzba znamená drahšie financovanie, takže replikácia stojí viac, a preto opcia stojí viac.

Zjednodušene: kúpna opcia je odložený nákup, a čím vyššie sú sadzby, tým cennejšie je platiť neskôr.

Ten istý efekt sa dá prečítať priamo zo vzorca: vyššie $r$ zmenšuje $Ke^{-rT}$ , teda odčítaný člen.

Kalkulačka

Typ opcie

Kúpna (call)

Predajná (put)

Cena akcie S₀

10100,00 €200

Realizačná cena K

10100,00 €200

Čas do expirácie T

0.051 rokov5

Bezriziková sadzba r

05,00 %0.15

Volatilita σ

0.0530,00 %1

Ceny opcií

Kúpna opcia

14,23 €

Predajná opcia

9,35 €

Premenné vzorca

d₁: 0,3167
d₂: 0,0167
N(d₁): 0,6243
N(d₂): 0,5066

Gréci (náhľad)

Delta Δ: 0,6243
Gamma Γ: 0,01265
Vega ν: 0,3794
Théta Θ: -0,0222
Rho ρ: 0,4819

Podrobne v trinástej kapitole. Théta je za deň, vega a rho za percentuálny bod.

Z čoho sa cena skladá

Vnútorná hodnota: 0,00 €
Časová hodnota: 14,23 €
Moneyness: Na peniazoch (ATM)

Put-call parita

C − P: 4,88 €
S₀ − Ke^(−rT): 4,88 €
Rozdiel: 0

Rozdiel je nula pri každom nastavení posuvníkov, a nie približne nula. Parita nevyplýva z modelu, ale zo samotných výplat, takže by ju musel spĺňať aj úplne iný model.

Hodnota a výplata pri vybraných cenách podkladu
Cena podkladu	Hodnota	Výplata
5,00 €	0,00 €	0,00 €
37,50 €	0,00 €	0,00 €
70,00 €	1,94 €	0,00 €
102,50 €	15,83 €	2,50 €
135,00 €	41,90 €	35,00 €
167,50 €	72,81 €	67,50 €
200,00 €	104,97 €	100,00 €

Hodnota dnes
Výplata pri expirácii

Čo si všimnúť

Znižujte čas do expirácie k nule. Krivka hodnoty klesá na lomenú čiaru výplaty a časová hodnota mizne. Opcia mimo peňazí má hodnotu presne preto, že do expirácie ostáva čas, počas ktorého sa cena môže pohnúť.

Čo vyskúšať:

Skontrolujte paritu. Riadok „Rozdiel" je nula pri každom nastavení. Nie približne nula, presne nula.
Znížte čas do expirácie k nule. Krivka hodnoty klesne na lomenú čiaru výplaty a časová hodnota zmizne.
Posuňte volatilitu z 30 % na 60 %. Obe ceny vyskočia. Potom skúste to isté s cenou podkladu: jedna vyskočí, druhá klesne.
Nastavte cenu podkladu hlboko nad realizačnú. $N(d_1)$ sa priblíži k jednotke a opcia sa začne správať ako akcia. Delta to hovorí priamo.
Sledujte grécke písmená. Sú tu ako náhľad; trinásta kapitola z nich spraví celú kapitolu.

Výplata verzus hodnota

Toto je rozlíšenie, ktoré si zaslúži vlastnú sekciu, lebo sa mýli najčastejšie.

Výplata a hodnota

Výplata je to, čo opcia dá pri expirácii. Je určená zmluvou a nepotrebuje model: $\max(S_T - K, 0)$ .

Hodnota je to, čo opcia stojí dnes, pred expiráciou. Na tú treba model, a Black–Scholesov vzorec je jeho výsledok.

Na grafe v kalkulačke sú to dve krivky: lomená čiara (výplata) a hladká krivka nad ňou (hodnota). Rozdiel medzi nimi má meno.

Vnútorná a časová hodnota

\text{cena} = \underbrace{\max(S_0 - K, 0)}_{\text{vnútorná hodnota}} + \underbrace{\text{zvyšok}}_{\text{časová hodnota}}

Vnútorná hodnota je to, čo by opcia vyplatila, keby expirovala teraz.

Časová hodnota je to, čo sa platí za zostávajúci čas.

Z toho vyplýva odpoveď na otázku, ktorú si kladie každý začiatočník: prečo má opcia mimo peňazí vôbec nejakú hodnotu?

Lebo do expirácie ostáva čas. Akcia za 90 € s realizačnou cenou 100 € dnes nevyplatí nič, ale do roka sa môže dostať nad 100 €, a v modelovom svete je tá šanca 34 %. Za tú šancu sa platí.

Moneyness

Posledný pojem, ktorý treba pomenovať.

Moneyness

Vzťah aktuálnej ceny podkladu k realizačnej cene:

Termín	Kúpna opcia	Predajná opcia
v peniazoch (ITM)	$S_0 > K$	$S_0 < K$
na peniazoch (ATM)	$S_0 = K$	$S_0 = K$
mimo peňazí (OTM)	$S_0 < K$	$S_0 > K$

Tri veci, ktoré s moneyness súvisia a stoja za zapamätanie:

Vnútornú hodnotu má len opcia v peniazoch. Mimo peňazí je celá cena časovou hodnotou.

Časová hodnota je najvyššia na peniazoch. Ďaleko na oboch stranách je malá: hlboko v peniazoch sa opcia správa ako forward, hlboko mimo peňazí je takmer bezcenná. Presne uprostred je najviac neistoty o tom, či sa uplatní, a za tú neistotu sa platí najviac.

Delta zhruba sleduje moneyness. Hlboko v peniazoch je blízko 1 (opcia sa hýbe ako akcia), hlboko mimo peňazí blízko 0 (opcia sa nehýbe), na peniazoch okolo 0,5.

Tri vyriešené príklady

Príklad 1: kúpna opcia mimo peňazí

Kúpna opcia, S = 50 €, K = 55 €

Akcia stojí 50 €, realizačná cena je 55 €, volatilita 35 %, sadzba 3 %, do expirácie pol roka.

Krok 1: pomocné veličiny.

\sigma\sqrt{T} = 0{,}35 \cdot \sqrt{0{,}5} = 0{,}35 \cdot 0{,}70711 = 0{,}24749

\ln(S_0/K) = \ln(50/55) = \ln 0{,}90909 = -0{,}09531

Krok 2: $d_1$ .

d_1 = \frac{-0{,}09531 + \left(0{,}03 + \frac{0{,}1225}{2}\right) \cdot 0{,}5}{0{,}24749} = \frac{-0{,}09531 + 0{,}045625}{0{,}24749} = \frac{-0{,}049685}{0{,}24749} = -0{,}2008

Krok 3: $d_2$ .

d_2 = -0{,}2008 - 0{,}24749 = -0{,}4482

Krok 4: hodnoty distribučnej funkcie.

N(-0{,}2008) = 0{,}4204, \qquad N(-0{,}4482) = 0{,}3270

Krok 5: diskontovaná realizačná cena.

Ke^{-rT} = 55 \cdot e^{-0{,}015} = 55 \cdot 0{,}98511 = 54{,}18\ \text{€}

Krok 6: cena.

C = 50 \cdot 0{,}4204 - 54{,}18 \cdot 0{,}3270 = 21{,}02 - 17{,}72 = \mathbf{3{,}31}\ \text{€}

Opcia je mimo peňazí, takže vnútorná hodnota je nula a celých 3,31 € je časová hodnota. Riziko-neutrálna pravdepodobnosť, že sa uplatní, je 32,7 %.

Príklad 2: predajná opcia na tom istom zadaní

Predajná opcia, tie isté vstupy

Použijeme $N(-d_1) = 1 - 0{,}4204 = 0{,}5796$ a $N(-d_2) = 1 - 0{,}3270 = 0{,}6730$ .

Priamym vzorcom:

P = Ke^{-rT}N(-d_2) - S_0N(-d_1) = 54{,}18 \cdot 0{,}6730 - 50 \cdot 0{,}5796

P = 36{,}46 - 28{,}98 = \mathbf{7{,}49}\ \text{€}

Kontrola paritou:

P = C - S_0 + Ke^{-rT} = 3{,}31 - 50 + 54{,}18 = 7{,}49\ \text{€}

Sedí.

Predajná opcia je tu v peniazoch: akcia stojí 50 €, právo predať za 55 € má vnútornú hodnotu 5 €. Časová hodnota je teda 7,49 − 5 = 2,49 €.

Všimnite si, že predajná opcia je drahšia než kúpna, hoci majú tú istú realizačnú cenu. Nie je to nič zvláštne: jedna je v peniazoch a druhá mimo nich.

Príklad 3: dve opcie s tou istou celkovou volatilitou

Rozhoduje σ√T, ale nie iba ono

Dve kúpne opcie na akciu za 100 €, obe s realizačnou cenou 100 € a sadzbou 3 %.

Opcia A: volatilita 30 %, tri mesiace do expirácie.

Opcia B: volatilita 15 %, rok do expirácie.

Obe majú tú istú celkovú volatilitu:

\text{A}: \; 0{,}30 \cdot \sqrt{0{,}25} = 0{,}15, \qquad \text{B}: \; 0{,}15 \cdot \sqrt{1} = 0{,}15

Sú teda rovnako drahé?

Nie.

\text{A}: \; d_1 = \frac{0 + (0{,}03 + 0{,}045) \cdot 0{,}25}{0{,}15} = 0{,}125, \quad d_2 = -0{,}025, \quad C = \mathbf{6{,}34}\ \text{€}

\text{B}: \; d_1 = \frac{0 + (0{,}03 + 0{,}01125) \cdot 1}{0{,}15} = 0{,}275, \quad d_2 = 0{,}125, \quad C = \mathbf{7{,}49}\ \text{€}

Opcia B je o 1,15 € drahšia, hoci má rovnakú celkovú neistotu.

Prečo. Neistota síce rozhoduje o väčšine ceny, ale nie o celej. Druhý člen vzorca obsahuje $Ke^{-rT}$ , a diskontovanie závisí od $T$ , nie od $\sigma\sqrt{T}$ . Pri ročnom horizonte sa realizačná cena diskontuje štyrikrát dlhšie, takže odčítaný člen je menší a opcia drahšia.

Praktický dôsledok. Volatilita a čas nie sú zameniteľné, hoci vo väčšine vzorca vystupujú spolu ako $\sigma\sqrt{T}$ . Kto porovnáva opcie s rôznymi expiráciami, musí porovnávať ceny, nie samotné volatility.

Časté nedorozumenia

Black–Scholes nepredpovedá cenu akcie.

Vzorec nehovorí, kde akcia skončí. Berie dnešnú cenu ako vstup a odvodzuje z nej, koľko musí stáť derivát, aby sa na dvojici nedala postaviť arbitráž. Predpoveď v ňom nie je ani na vstupe, ani na výstupe.

Nehovorí, aká je skutočná pravdepodobnosť rastu.

$N(d_2)$ je pravdepodobnosť pod mierou $\mathbb{Q}$ , kde akcia rastie sadzbou $r$ . Skutočná pravdepodobnosť by používala $\mu$ a bola by iná. Kto z ceny opcie číta predpoveď trhu, číta zle.

Riziko-neutrálna miera nie je popis reality.

Deviata kapitola to hovorí naplno: $\mathbb{Q}$ je váhová schéma, pri ktorej cena nepripúšťa arbitráž. Nikto neverí, že akcie rastú bezrizikovou sadzbou, a model to netvrdí.

Volatilita nie je pravdepodobnosť.

$\sigma$ je smerodajná odchýlka výnosu za rok, teda miera rozptylu. Volatilita 30 % neznamená 30 % šancu na nič. Znamená, že typický ročný výnos sa od svojho stredu odchýli asi o 30 %.

Delta nie je konštantná.

$N(d_1)$ závisí od $S$ , od $T$ aj od $\sigma$ . Hýbe sa neustále, a preto sa zaistenie musí priebežne upravovať. Jedenásta kapitola to ukázala aj číselne.

Model stojí na predpokladoch, ktoré neplatia.

Konštantná volatilita, spojité obchodovanie, žiadne transakčné náklady, lognormálne rozdelenie. Ani jeden z nich nie je pravdivý. Pätnásta kapitola ukáže, ako veľmi trh s prvým nesúhlasí, a sedemnásta kapitola sa im venuje po jednom.

Cvičenia

Cvičenie

Quick check: vnútorná hodnota

Akcia stojí 120 €. Máte kúpnu aj predajnú opciu s realizačnou cenou 100 €.

Aká je vnútorná hodnota každej z nich?

Vnútorná hodnota kúpnej

€

Vnútorná hodnota predajnej

€

Cvičenie

Quick check: čo hovorí N(d₂)

Pre istú opciu vyšlo $N(d_2) = 0{,}5066$ .

Aká je riziko-neutrálna pravdepodobnosť, že skončí v peniazoch, v percentách? A aká je pravdepodobnosť, že skončí mimo peňazí?

V peniazoch v %

Mimo peňazí v %

Cvičenie

Quick check: parita bez modelu

Akcia stojí 100 €, realizačná cena je 100 €, sadzba 5 %, do expirácie rok.

O koľko je kúpna opcia drahšia než predajná? Potrebujete na to volatilitu?

C − P

€

Cvičenie

Opcia v peniazoch

Akcia stojí 120 €, realizačná cena je 100 €, volatilita 25 %, sadzba 4 % a do expirácie ostáva rok.

Spočítajte $d_1$ , $d_2$ a cenu kúpnej opcie. Hodnoty distribučnej funkcie: $N(1{,}0143) = 0{,}8448$ a $N(0{,}7643) = 0{,}7776$ .

d₁

d₂

Cena kúpnej opcie

€

Cvičenie

Predajná opcia dvomi spôsobmi

Rovnaké zadanie ( $S = 120$ , $K = 100$ , $\sigma = 25\ \%$ , $r = 4\ \%$ , $T = 1$ , $C = 26{,}66$ €).

Spočítajte cenu predajnej opcie z put-call parity.

Cena predajnej opcie

€

Cvičenie

Opcia mimo peňazí od začiatku

Akcia stojí 50 €, realizačná cena 55 €, volatilita 35 %, sadzba 3 %, pol roka do expirácie.

Hodnoty distribučnej funkcie: $N(-0{,}2008) = 0{,}4204$ a $N(-0{,}4482) = 0{,}3270$ .

σ√T

d₁

Cena kúpnej opcie

€

Cvičenie

Čo robí volatilita

Dve kúpne opcie na akciu za 100 €, obe s realizačnou cenou 100 €, sadzbou 3 % a ročnou expiráciou. Líšia sa len volatilitou: prvá 20 %, druhá 40 %.

Ich ceny sú 9,41 € a 17,14 €. O koľko percent je druhá drahšia, a prečo je vyššia volatilita vždy drahšia pre obe strany, teda aj pre kúpnu, aj pre predajnú opciu?

Rozdiel cien

€

O koľko percent viac

Cvičenie

Prečo má bezcenná opcia hodnotu

Akcia stojí 90 €, realizačná cena je 100 €, volatilita 30 %, sadzba 3 %, rok do expirácie. Cena kúpnej opcie je 7,98 €.

Aká je jej vnútorná a aká časová hodnota?

Vnútorná hodnota

€

Časová hodnota

€

Cvičenie

Challenge: rovnaká neistota, iná cena

Dve kúpne opcie na akciu za 100 €, obe s realizačnou cenou 100 € a sadzbou 3 %.

A: volatilita 30 %, tri mesiace. B: volatilita 15 %, jeden rok.

Overte, že majú tú istú celkovú volatilitu $\sigma\sqrt{T}$ . Potom spočítajte $d_1$ oboch a vysvetlite, prečo sa ceny (6,34 € a 7,49 €) predsa len líšia.

σ√T (obe)

d₁ opcie A

d₁ opcie B

Rozdiel cien

€

Ako sme sa dostali k Black–Scholesovi

Dvanásť kapitol, jeden reťazec. Každý článok bol nutný a žiadny sa nedal preskočiť.

Kapitola	Krok	Čo pribudlo
1	Deriváty a výplaty	čo vlastne oceňujeme
2	Bezarbitrážny princíp	forwardová cena bez jedinej pravdepodobnosti
3	Replikácia	opcia sa dá poskladať z akcie a pôžičky
4	Riziko-neutrálna pravdepodobnosť	replikácia prepísaná ako priemer s váhou $q$
5	Viackrokový strom	ten istý krok po vrstvách, cena sa ustaľuje
6	Martingály	cena existuje preto, že existuje stratégia
7	Brownov pohyb	limit stromu, škálovanie $\sqrt{\Delta t}$
8	Itôov kalkul	$(dW)^2 = dt$ , a preto sa dá rovnica vyriešiť
9	Zmena miery	Girsanov premení $\mu$ na $r$
10	Martingálový prístup	cena ako diskontovaná stredná hodnota
11	PDE prístup	tá istá cena zaistením, bez pravdepodobnosti
12	Vzorec	$C = S_0N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$

Za pozornosť stojí, koľkokrát sa v tom reťazci zopakoval ten istý záver. Cena derivátu nezávisí od očakávaného výnosu podkladu. Vyšlo to v tretej kapitole z replikácie, vo štvrtej z voľby $q$ , v deviatej zo zmeny miery a v jedenástej zo zaistenia. Štyri rôzne dôvody, jeden dôsledok.

A rovnako sa opakuje aj jeho príčina: bezarbitrážny princíp z druhej kapitoly. Všetko ostatné je technika, ako ho aplikovať na čoraz zložitejšie výplaty.

Kam ďalej

Model je hotový. Zvyšok kurzu je o tom, čo s ním.

Trinásta kapitola rozoberie grécke písmená, teda citlivosti ceny na jednotlivé parametre. Prvý náhľad na ne dáva kalkulačka vyššie.

Štrnásta kapitola ide za európsku opciu: americké, digitálne a ázijské kontrakty, teda tam, kde uzavretý vzorec prestáva stačiť a nastupuje rovnica z jedenástej kapitoly.

Pätnásta kapitola obráti vzorec naruby. Ak poznáme cenu z trhu a hľadáme $\sigma$ , dostaneme implikovanú volatilitu, a jej tvar naprieč realizačnými cenami je najpriamejšie meranie toho, kde model nesedí.

Sedemnásta kapitola sa vráti k predpokladom a pozrie sa na ne kriticky.

Čo si zapamätať

$C = S_0N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$ , kde prvý člen je hodnota toho, čo dostanete, a druhý hodnota toho, čo zaplatíte.
$N(d_2)$ je riziko-neutrálna pravdepodobnosť skončenia v peniazoch. Nie skutočná.
$N(d_1)$ je delta, teda hedžovací pomer. Je to tiež pravdepodobnosť, ale pod inou mierou, a nie je to to isté číslo ako $N(d_2)$ .
Zo vstupov je odhadovaný jediný: $\sigma$ . Ostatné štyri sa dajú odčítať.
Put-call parita $C - P = S_0 - Ke^{-rT}$ nevyplýva z modelu, ale z výplat, a preto musí platiť v každom modeli.
Volatilita zdražuje obe opcie, lebo asymetrická výplata premení symetrické rozšírenie rozdelenia na jednostranný zisk.
Vyššia sadzba zdražuje kúpnu a zlacňuje predajnú, lebo replikácia kúpnej je financovaná pôžičkou.
Výplata a hodnota nie sú to isté. Rozdiel je časová hodnota a je najvyššia na peniazoch.
Rovnaké $\sigma\sqrt{T}$ neznamená rovnakú cenu, lebo diskontovanie realizačnej ceny závisí od $T$ samotného.
Vzorec je cena replikačného portfólia, nič viac a nič menej.

Kapitoly

← Prehľad kurzu

Kapitola 12 z 17

Black–Scholesov vzorec

Dva členy, dva významy, päť parametrov a to, čo vzorec nehovorí.

25 minút

Kde sme

Dve kapitoly, dve odvodenia, jeden výsledok.

C = S_0\,N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)

Vzorec

Black–Scholesov vzorec pre európsku kúpnu opciu: $C = S_0\,N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$ $d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}}, \qquad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$

Päť vstupov a jedna funkcia:

Symbol	Čo to je	Odkiaľ sa berie
$S_0$	aktuálna cena podkladu	z trhu, priamo
$K$	realizačná cena	zo zmluvy
$T$	čas do expirácie v rokoch	zo zmluvy
$r$	bezriziková sadzba, spojito úročená	z trhu dlhopisov
$\sigma$	ročná volatilita podkladu	jediný odhadovaný parameter
$N(\cdot)$	distribučná funkcia normálneho rozdelenia	z tabuľky alebo kalkulačky

Ako vzorec čítať

Rozdeľme ho na dva členy a čítajme každý zvlášť.

\underbrace{S_0N(d_1)}_{\text{čo dostanem}} \;-\; \underbrace{Ke^{-rT}N(d_2)}_{\text{čo zaplatím}}

Kúpna opcia je právo vymeniť peniaze za akciu. Prvý člen je dnešná hodnota toho, čo v tej výmene dostanem, druhý dnešná hodnota toho, čo za to dám. Cena je ich rozdiel.

Desiata kapitola ukázala, že oba členy sú aj samostatne obchodovateľné kontrakty: prvý je asset-or-nothing opcia, druhý cash-or-nothing.

$N(d_2)$

Význam N(d₂): $N(d_2)$ je riziko-neutrálna pravdepodobnosť, že opcia skončí v peniazoch, teda $\mathbb{Q}(S_T > K)$ .

$N(d_1)$

Tu treba byť opatrný, lebo tu sa zjednodušené výklady bežne mýlia.

Význam N(d₁)

$N(d_1)$ je delta kúpnej opcie: koľko akcií treba držať na jej replikáciu.

Prvý člen $S_0N(d_1)$ je teda hodnota akcií, ktoré v zaisťovacom portfóliu držíte.

Toto je presne to $\Delta$ z tretej kapitoly, len v spojitom čase. Vzorec sa preto dá čítať ako

C = \Delta \cdot S_0 + B

Ten istý príklad, zavretým vzorcom

$S = K = 100$ €, $\sigma = 0{,}3$ , $r = 0{,}05$ , $T = 1$ .

$d_1 = \frac{0 + (0{,}05 + 0{,}045)}{0{,}3} = 0{,}3167$ , $d_2 = 0{,}3167 - 0{,}3 = 0{,}0167$ .

$N(d_1) = 0{,}6243$ , $N(d_2) = 0{,}5066$ .

$C = 100 \cdot 0{,}6243 - 100 \cdot 0{,}9512 \cdot 0{,}5066 = 62{,}43 - 48{,}19 = \mathbf{14{,}23}$ €.

Presne to číslo, ku ktorému sa strom v piatej kapitole blížil.

Predajná opcia a put-call parita

Cena predajnej opcie sa dá napísať priamo:

P = Ke^{-rT}N(-d_2) - S_0\,N(-d_1)

Sú to tie isté $d_1$ a $d_2$ , len so záporným znamienkom v argumente. Keďže $N(-x) = 1 - N(x)$ , dá sa to prepísať aj ako $Ke^{-rT}(1 - N(d_2)) - S_0(1 - N(d_1))$ .

Existuje však aj spôsob, ktorý model nepotrebuje vôbec.

Put-call parita: Kúpna a predajná opcia s tou istou realizačnou cenou a expiráciou sú viazané rovnosťou:
$C - P = S_0 - Ke^{-rT}$

Prečo musí platiť

Algebraicky. Odčítajte oba vzorce a použite $N(-x) = 1-N(x)$ :

C - P = S_0N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2) - Ke^{-rT}\left(1 - N(d_2)\right) + S_0\left(1 - N(d_1)\right)

Členy s $N(d_1)$ sa vyrušia, členy s $N(d_2)$ tiež, a zostane $S_0 - Ke^{-rT}$ .

Cez výplaty. Zoberme portfólio: kúpna opcia long, predajná short, obe s realizačnou cenou $K$ . Pri expirácii:

Scenár	Kúpna vyplatí	Predajná (short) vyplatí	Spolu
$S_T > K$	$S_T - K$	0	$S_T - K$
$S_T < K$	0	$-(K - S_T)$	$S_T - K$

V oboch prípadoch to isté: $S_T - K$ . To je presne výplata forwardu s dodacou cenou $K$ , ktorý podľa druhej kapitoly stojí $S_0 - Ke^{-rT}$ .

Vplyv jednotlivých parametrov

Päť vstupov, päť smerov. Každý sa oplatí rozumieť skôr, než sa zapamätá.

Cena podkladu $S_0$ rastie

Kúpna opcia zdražie, predajná zlacnie.

Kúpna opcia je právo kúpiť za pevnú cenu. Čím vyššie je aktuálna cena, tým je to právo cennejšie. Predajná je právo predať za pevnú cenu, teda naopak.

Rýchlosť tejto zmeny je delta: $N(d_1)$ pre kúpnu, $N(d_1) - 1$ pre predajnú. Preto je delta kúpnej vždy medzi 0 a 1 a delta predajnej medzi $-1$ a 0.

Realizačná cena $K$ rastie

Kúpna opcia zlacnie, predajná zdražie.

Zrkadlový obraz predchádzajúceho. Právo kúpiť drahšie je menej cenné, právo predať drahšie je cennejšie.

Volatilita $\sigma$ rastie

Obe opcie zdražejú.

Toto je jediný parameter, ktorý pôsobí na obe rovnakým smerom, a stojí za to rozumieť prečo.

Preto je opcia stávkou na veľkosť pohybu, nie na jeho smer, a preto je volatilita cenotvorná.

Čas do expirácie $T$ rastie

Vo všeobecnosti obe zdražejú, ale s dvoma nuansami.

Dlhší čas znamená viac priestoru na pohyb, teda vyššiu celkovú volatilitu $\sigma\sqrt{T}$ . To zdražuje obe.

Zároveň dlhší čas viac diskontuje realizačnú cenu, čo zdražuje kúpnu a zlacňuje predajnú.

Bezriziková sadzba $r$ rastie

Kúpna zdražie, predajná zlacnie.

Zjednodušene: kúpna opcia je odložený nákup, a čím vyššie sú sadzby, tým cennejšie je platiť neskôr.

Ten istý efekt sa dá prečítať priamo zo vzorca: vyššie $r$ zmenšuje $Ke^{-rT}$ , teda odčítaný člen.

Kalkulačka

Typ opcie

Kúpna (call)

Predajná (put)

Cena akcie S₀

10100,00 €200

Realizačná cena K

10100,00 €200

Čas do expirácie T

0.051 rokov5

Bezriziková sadzba r

05,00 %0.15

Volatilita σ

0.0530,00 %1

Ceny opcií

Kúpna opcia

14,23 €

Predajná opcia

9,35 €

Premenné vzorca

d₁: 0,3167
d₂: 0,0167
N(d₁): 0,6243
N(d₂): 0,5066

Gréci (náhľad)

Delta Δ: 0,6243
Gamma Γ: 0,01265
Vega ν: 0,3794
Théta Θ: -0,0222
Rho ρ: 0,4819

Podrobne v trinástej kapitole. Théta je za deň, vega a rho za percentuálny bod.

Z čoho sa cena skladá

Vnútorná hodnota: 0,00 €
Časová hodnota: 14,23 €
Moneyness: Na peniazoch (ATM)

Put-call parita

C − P: 4,88 €
S₀ − Ke^(−rT): 4,88 €
Rozdiel: 0

Rozdiel je nula pri každom nastavení posuvníkov, a nie približne nula. Parita nevyplýva z modelu, ale zo samotných výplat, takže by ju musel spĺňať aj úplne iný model.

Hodnota a výplata pri vybraných cenách podkladu
Cena podkladu	Hodnota	Výplata
5,00 €	0,00 €	0,00 €
37,50 €	0,00 €	0,00 €
70,00 €	1,94 €	0,00 €
102,50 €	15,83 €	2,50 €
135,00 €	41,90 €	35,00 €
167,50 €	72,81 €	67,50 €
200,00 €	104,97 €	100,00 €

Hodnota dnes
Výplata pri expirácii

Čo si všimnúť

Čo vyskúšať:

Skontrolujte paritu. Riadok „Rozdiel" je nula pri každom nastavení. Nie približne nula, presne nula.
Znížte čas do expirácie k nule. Krivka hodnoty klesne na lomenú čiaru výplaty a časová hodnota zmizne.
Posuňte volatilitu z 30 % na 60 %. Obe ceny vyskočia. Potom skúste to isté s cenou podkladu: jedna vyskočí, druhá klesne.
Nastavte cenu podkladu hlboko nad realizačnú. $N(d_1)$ sa priblíži k jednotke a opcia sa začne správať ako akcia. Delta to hovorí priamo.
Sledujte grécke písmená. Sú tu ako náhľad; trinásta kapitola z nich spraví celú kapitolu.

Výplata verzus hodnota

Toto je rozlíšenie, ktoré si zaslúži vlastnú sekciu, lebo sa mýli najčastejšie.

Výplata a hodnota

Výplata je to, čo opcia dá pri expirácii. Je určená zmluvou a nepotrebuje model: $\max(S_T - K, 0)$ .

Hodnota je to, čo opcia stojí dnes, pred expiráciou. Na tú treba model, a Black–Scholesov vzorec je jeho výsledok.

Na grafe v kalkulačke sú to dve krivky: lomená čiara (výplata) a hladká krivka nad ňou (hodnota). Rozdiel medzi nimi má meno.

Vnútorná a časová hodnota

\text{cena} = \underbrace{\max(S_0 - K, 0)}_{\text{vnútorná hodnota}} + \underbrace{\text{zvyšok}}_{\text{časová hodnota}}

Vnútorná hodnota je to, čo by opcia vyplatila, keby expirovala teraz.

Časová hodnota je to, čo sa platí za zostávajúci čas.

Z toho vyplýva odpoveď na otázku, ktorú si kladie každý začiatočník: prečo má opcia mimo peňazí vôbec nejakú hodnotu?

Moneyness

Posledný pojem, ktorý treba pomenovať.

Moneyness

Vzťah aktuálnej ceny podkladu k realizačnej cene:

Termín	Kúpna opcia	Predajná opcia
v peniazoch (ITM)	$S_0 > K$	$S_0 < K$
na peniazoch (ATM)	$S_0 = K$	$S_0 = K$
mimo peňazí (OTM)	$S_0 < K$	$S_0 > K$

Tri veci, ktoré s moneyness súvisia a stoja za zapamätanie:

Vnútornú hodnotu má len opcia v peniazoch. Mimo peňazí je celá cena časovou hodnotou.

Delta zhruba sleduje moneyness. Hlboko v peniazoch je blízko 1 (opcia sa hýbe ako akcia), hlboko mimo peňazí blízko 0 (opcia sa nehýbe), na peniazoch okolo 0,5.

Tri vyriešené príklady

Príklad 1: kúpna opcia mimo peňazí

Kúpna opcia, S = 50 €, K = 55 €

Akcia stojí 50 €, realizačná cena je 55 €, volatilita 35 %, sadzba 3 %, do expirácie pol roka.

Krok 1: pomocné veličiny.

\sigma\sqrt{T} = 0{,}35 \cdot \sqrt{0{,}5} = 0{,}35 \cdot 0{,}70711 = 0{,}24749

\ln(S_0/K) = \ln(50/55) = \ln 0{,}90909 = -0{,}09531

Krok 2: $d_1$ .

d_1 = \frac{-0{,}09531 + \left(0{,}03 + \frac{0{,}1225}{2}\right) \cdot 0{,}5}{0{,}24749} = \frac{-0{,}09531 + 0{,}045625}{0{,}24749} = \frac{-0{,}049685}{0{,}24749} = -0{,}2008

Krok 3: $d_2$ .

d_2 = -0{,}2008 - 0{,}24749 = -0{,}4482

Krok 4: hodnoty distribučnej funkcie.

N(-0{,}2008) = 0{,}4204, \qquad N(-0{,}4482) = 0{,}3270

Krok 5: diskontovaná realizačná cena.

Ke^{-rT} = 55 \cdot e^{-0{,}015} = 55 \cdot 0{,}98511 = 54{,}18\ \text{€}

Krok 6: cena.

C = 50 \cdot 0{,}4204 - 54{,}18 \cdot 0{,}3270 = 21{,}02 - 17{,}72 = \mathbf{3{,}31}\ \text{€}

Opcia je mimo peňazí, takže vnútorná hodnota je nula a celých 3,31 € je časová hodnota. Riziko-neutrálna pravdepodobnosť, že sa uplatní, je 32,7 %.

Príklad 2: predajná opcia na tom istom zadaní

Predajná opcia, tie isté vstupy

Použijeme $N(-d_1) = 1 - 0{,}4204 = 0{,}5796$ a $N(-d_2) = 1 - 0{,}3270 = 0{,}6730$ .

Priamym vzorcom:

P = Ke^{-rT}N(-d_2) - S_0N(-d_1) = 54{,}18 \cdot 0{,}6730 - 50 \cdot 0{,}5796

P = 36{,}46 - 28{,}98 = \mathbf{7{,}49}\ \text{€}

Kontrola paritou:

P = C - S_0 + Ke^{-rT} = 3{,}31 - 50 + 54{,}18 = 7{,}49\ \text{€}

Sedí.

Predajná opcia je tu v peniazoch: akcia stojí 50 €, právo predať za 55 € má vnútornú hodnotu 5 €. Časová hodnota je teda 7,49 − 5 = 2,49 €.

Všimnite si, že predajná opcia je drahšia než kúpna, hoci majú tú istú realizačnú cenu. Nie je to nič zvláštne: jedna je v peniazoch a druhá mimo nich.

Príklad 3: dve opcie s tou istou celkovou volatilitou

Rozhoduje σ√T, ale nie iba ono

Dve kúpne opcie na akciu za 100 €, obe s realizačnou cenou 100 € a sadzbou 3 %.

Opcia A: volatilita 30 %, tri mesiace do expirácie.

Opcia B: volatilita 15 %, rok do expirácie.

Obe majú tú istú celkovú volatilitu:

\text{A}: \; 0{,}30 \cdot \sqrt{0{,}25} = 0{,}15, \qquad \text{B}: \; 0{,}15 \cdot \sqrt{1} = 0{,}15

Sú teda rovnako drahé?

Nie.

\text{A}: \; d_1 = \frac{0 + (0{,}03 + 0{,}045) \cdot 0{,}25}{0{,}15} = 0{,}125, \quad d_2 = -0{,}025, \quad C = \mathbf{6{,}34}\ \text{€}

\text{B}: \; d_1 = \frac{0 + (0{,}03 + 0{,}01125) \cdot 1}{0{,}15} = 0{,}275, \quad d_2 = 0{,}125, \quad C = \mathbf{7{,}49}\ \text{€}

Opcia B je o 1,15 € drahšia, hoci má rovnakú celkovú neistotu.

Časté nedorozumenia

Black–Scholes nepredpovedá cenu akcie.

Nehovorí, aká je skutočná pravdepodobnosť rastu.

Riziko-neutrálna miera nie je popis reality.

Deviata kapitola to hovorí naplno: $\mathbb{Q}$ je váhová schéma, pri ktorej cena nepripúšťa arbitráž. Nikto neverí, že akcie rastú bezrizikovou sadzbou, a model to netvrdí.

Volatilita nie je pravdepodobnosť.

$\sigma$ je smerodajná odchýlka výnosu za rok, teda miera rozptylu. Volatilita 30 % neznamená 30 % šancu na nič. Znamená, že typický ročný výnos sa od svojho stredu odchýli asi o 30 %.

Delta nie je konštantná.

$N(d_1)$ závisí od $S$ , od $T$ aj od $\sigma$ . Hýbe sa neustále, a preto sa zaistenie musí priebežne upravovať. Jedenásta kapitola to ukázala aj číselne.

Model stojí na predpokladoch, ktoré neplatia.

Cvičenia

Cvičenie

Quick check: vnútorná hodnota

Akcia stojí 120 €. Máte kúpnu aj predajnú opciu s realizačnou cenou 100 €.

Aká je vnútorná hodnota každej z nich?

Vnútorná hodnota kúpnej

€

Vnútorná hodnota predajnej

€

Cvičenie

Quick check: čo hovorí N(d₂)

Pre istú opciu vyšlo $N(d_2) = 0{,}5066$ .

Aká je riziko-neutrálna pravdepodobnosť, že skončí v peniazoch, v percentách? A aká je pravdepodobnosť, že skončí mimo peňazí?

V peniazoch v %

Mimo peňazí v %

Cvičenie

Quick check: parita bez modelu

Akcia stojí 100 €, realizačná cena je 100 €, sadzba 5 %, do expirácie rok.

O koľko je kúpna opcia drahšia než predajná? Potrebujete na to volatilitu?

C − P

€

Cvičenie

Opcia v peniazoch

Akcia stojí 120 €, realizačná cena je 100 €, volatilita 25 %, sadzba 4 % a do expirácie ostáva rok.

Spočítajte $d_1$ , $d_2$ a cenu kúpnej opcie. Hodnoty distribučnej funkcie: $N(1{,}0143) = 0{,}8448$ a $N(0{,}7643) = 0{,}7776$ .

d₁

d₂

Cena kúpnej opcie

€

Cvičenie

Predajná opcia dvomi spôsobmi

Rovnaké zadanie ( $S = 120$ , $K = 100$ , $\sigma = 25\ \%$ , $r = 4\ \%$ , $T = 1$ , $C = 26{,}66$ €).

Spočítajte cenu predajnej opcie z put-call parity.

Cena predajnej opcie

€

Cvičenie

Opcia mimo peňazí od začiatku

Akcia stojí 50 €, realizačná cena 55 €, volatilita 35 %, sadzba 3 %, pol roka do expirácie.

Hodnoty distribučnej funkcie: $N(-0{,}2008) = 0{,}4204$ a $N(-0{,}4482) = 0{,}3270$ .

σ√T

d₁

Cena kúpnej opcie

€

Cvičenie

Čo robí volatilita

Dve kúpne opcie na akciu za 100 €, obe s realizačnou cenou 100 €, sadzbou 3 % a ročnou expiráciou. Líšia sa len volatilitou: prvá 20 %, druhá 40 %.

Ich ceny sú 9,41 € a 17,14 €. O koľko percent je druhá drahšia, a prečo je vyššia volatilita vždy drahšia pre obe strany, teda aj pre kúpnu, aj pre predajnú opciu?

Rozdiel cien

€

O koľko percent viac

Cvičenie

Prečo má bezcenná opcia hodnotu

Akcia stojí 90 €, realizačná cena je 100 €, volatilita 30 %, sadzba 3 %, rok do expirácie. Cena kúpnej opcie je 7,98 €.

Aká je jej vnútorná a aká časová hodnota?

Vnútorná hodnota

€

Časová hodnota

€

Cvičenie

Challenge: rovnaká neistota, iná cena

Dve kúpne opcie na akciu za 100 €, obe s realizačnou cenou 100 € a sadzbou 3 %.

A: volatilita 30 %, tri mesiace. B: volatilita 15 %, jeden rok.

Overte, že majú tú istú celkovú volatilitu $\sigma\sqrt{T}$ . Potom spočítajte $d_1$ oboch a vysvetlite, prečo sa ceny (6,34 € a 7,49 €) predsa len líšia.

σ√T (obe)

d₁ opcie A

d₁ opcie B

Rozdiel cien

€

Ako sme sa dostali k Black–Scholesovi

Dvanásť kapitol, jeden reťazec. Každý článok bol nutný a žiadny sa nedal preskočiť.

Kapitola	Krok	Čo pribudlo
1	Deriváty a výplaty	čo vlastne oceňujeme
2	Bezarbitrážny princíp	forwardová cena bez jedinej pravdepodobnosti
3	Replikácia	opcia sa dá poskladať z akcie a pôžičky
4	Riziko-neutrálna pravdepodobnosť	replikácia prepísaná ako priemer s váhou $q$
5	Viackrokový strom	ten istý krok po vrstvách, cena sa ustaľuje
6	Martingály	cena existuje preto, že existuje stratégia
7	Brownov pohyb	limit stromu, škálovanie $\sqrt{\Delta t}$
8	Itôov kalkul	$(dW)^2 = dt$ , a preto sa dá rovnica vyriešiť
9	Zmena miery	Girsanov premení $\mu$ na $r$
10	Martingálový prístup	cena ako diskontovaná stredná hodnota
11	PDE prístup	tá istá cena zaistením, bez pravdepodobnosti
12	Vzorec	$C = S_0N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$

A rovnako sa opakuje aj jeho príčina: bezarbitrážny princíp z druhej kapitoly. Všetko ostatné je technika, ako ho aplikovať na čoraz zložitejšie výplaty.

Kam ďalej

Model je hotový. Zvyšok kurzu je o tom, čo s ním.

Trinásta kapitola rozoberie grécke písmená, teda citlivosti ceny na jednotlivé parametre. Prvý náhľad na ne dáva kalkulačka vyššie.

Štrnásta kapitola ide za európsku opciu: americké, digitálne a ázijské kontrakty, teda tam, kde uzavretý vzorec prestáva stačiť a nastupuje rovnica z jedenástej kapitoly.

Sedemnásta kapitola sa vráti k predpokladom a pozrie sa na ne kriticky.

Čo si zapamätať

$C = S_0N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$ , kde prvý člen je hodnota toho, čo dostanete, a druhý hodnota toho, čo zaplatíte.
$N(d_2)$ je riziko-neutrálna pravdepodobnosť skončenia v peniazoch. Nie skutočná.
$N(d_1)$ je delta, teda hedžovací pomer. Je to tiež pravdepodobnosť, ale pod inou mierou, a nie je to to isté číslo ako $N(d_2)$ .
Zo vstupov je odhadovaný jediný: $\sigma$ . Ostatné štyri sa dajú odčítať.
Put-call parita $C - P = S_0 - Ke^{-rT}$ nevyplýva z modelu, ale z výplat, a preto musí platiť v každom modeli.
Volatilita zdražuje obe opcie, lebo asymetrická výplata premení symetrické rozšírenie rozdelenia na jednostranný zisk.
Vyššia sadzba zdražuje kúpnu a zlacňuje predajnú, lebo replikácia kúpnej je financovaná pôžičkou.
Výplata a hodnota nie sú to isté. Rozdiel je časová hodnota a je najvyššia na peniazoch.
Rovnaké $\sigma\sqrt{T}$ neznamená rovnakú cenu, lebo diskontovanie realizačnej ceny závisí od $T$ samotného.
Vzorec je cena replikačného portfólia, nič viac a nič menej.

Kapitoly

← Prehľad kurzu

Kde sme

Vzorec

Ako vzorec čítať

N(d2)N(d_2)N(d2​)

N(d1)N(d_1)N(d1​)

Predajná opcia a put-call parita

Prečo musí platiť

Vplyv jednotlivých parametrov

Cena podkladu S0S_0S0​ rastie

Realizačná cena KKK rastie

Volatilita σ\sigmaσ rastie

Čas do expirácie TTT rastie

Bezriziková sadzba rrr rastie

Kalkulačka

Výplata verzus hodnota

Moneyness

Tri vyriešené príklady

Príklad 1: kúpna opcia mimo peňazí

Príklad 2: predajná opcia na tom istom zadaní

Príklad 3: dve opcie s tou istou celkovou volatilitou

Časté nedorozumenia

Black–Scholes nepredpovedá cenu akcie.

Nehovorí, aká je skutočná pravdepodobnosť rastu.

Riziko-neutrálna miera nie je popis reality.

Volatilita nie je pravdepodobnosť.

Delta nie je konštantná.

Model stojí na predpokladoch, ktoré neplatia.

Cvičenia

Quick check: vnútorná hodnota

Quick check: čo hovorí N(d₂)

Quick check: parita bez modelu

Opcia v peniazoch

Predajná opcia dvomi spôsobmi

Opcia mimo peňazí od začiatku

Čo robí volatilita

Prečo má bezcenná opcia hodnotu

Challenge: rovnaká neistota, iná cena

Ako sme sa dostali k Black–Scholesovi

Kam ďalej

Čo si zapamätať

Kapitoly

Kde sme

Vzorec

Ako vzorec čítať

N(d2)N(d_2)N(d2​)

N(d1)N(d_1)N(d1​)

Predajná opcia a put-call parita

Prečo musí platiť

Vplyv jednotlivých parametrov

Cena podkladu S0S_0S0​ rastie

Realizačná cena KKK rastie

Volatilita σ\sigmaσ rastie

Čas do expirácie TTT rastie

Bezriziková sadzba rrr rastie

Kalkulačka

Výplata verzus hodnota

Moneyness

Tri vyriešené príklady

Príklad 1: kúpna opcia mimo peňazí

Príklad 2: predajná opcia na tom istom zadaní

Príklad 3: dve opcie s tou istou celkovou volatilitou

Časté nedorozumenia

Black–Scholes nepredpovedá cenu akcie.

Nehovorí, aká je skutočná pravdepodobnosť rastu.

Riziko-neutrálna miera nie je popis reality.

Volatilita nie je pravdepodobnosť.

Delta nie je konštantná.

Model stojí na predpokladoch, ktoré neplatia.

Cvičenia

Quick check: vnútorná hodnota

Quick check: čo hovorí N(d₂)

Quick check: parita bez modelu

Opcia v peniazoch

Predajná opcia dvomi spôsobmi

Opcia mimo peňazí od začiatku

Čo robí volatilita

Prečo má bezcenná opcia hodnotu

Challenge: rovnaká neistota, iná cena

Ako sme sa dostali k Black–Scholesovi

Kam ďalej

$N(d_2)$

$N(d_1)$

Cena podkladu $S_0$ rastie

Realizačná cena $K$ rastie

Volatilita $\sigma$ rastie

Čas do expirácie $T$ rastie

Bezriziková sadzba $r$ rastie

$N(d_2)$

$N(d_1)$

Cena podkladu $S_0$ rastie

Realizačná cena $K$ rastie

Volatilita $\sigma$ rastie

Čas do expirácie $T$ rastie

Bezriziková sadzba $r$ rastie